高中总复习第一轮数学 (新人教A)第二章 2.7 指数与指数函数.docVIP

2.7 指数与指数函数 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.指数 (1)n次方根的定义 若xn=a,则称x为a的n次方根，“”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. (2)方根的性质 ①当n为奇数时，=a; ②当n为偶数时，=|a|= (3)分数指数幂的意义 ①=(a0,m、n都是正整数，n1); ②=(a0,m、n都是正整数，n1). 2.指数函数 (1)指数函数的定义 一般地，函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数. (2)指数函数的图象 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (3)指数函数的性质 ①定义域:R. ②值域:(0，+∞). ③过点(0,1),即x=0时，y=1. ④当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数. 二、点击双基 1.等于( ) A.- B.- C.- D. 解析: . 答案:A 2.函数y=的图象与直线y=x的位置关系是( ) 解析:y==()x. ∵1, ∴不可能选D. 又∵当x=1时，x,而当x=3时，x, ∴不可能选A、B. 答案:C 3.若函数y=ax+b-1(a0且a≠1)的图象经过二、三、四象限，则一定有( ) A.0a1且b0 B.a1且b0 C.0a1且b0 D.a1且b0 解析:作函数y=ax+b-1的图象. 答案:C 4.方程4x+2x-2=0的解是____________. 解析：原方程可化为(2x)2+2x-2=0, 解之,得2x=1或2x=-2(舍去),故x=0. 答案：x=0 5.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________. 解析:数形结合.由图象可知02a1,0a. 答案:0a 诱思·实例点拨 【例1】 右图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是( ) A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc 剖析:可先分两类，即③④的底数一定大于1，①②的底数小于1，然后再从③④中比较c、d的大小，从①②中比较a、b的大小. 解法一:当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得ba1dc. 解法二:令x=1,由图知c1d1a1b1, ∴ba1dc. 答案:B 【例2】 化简: (1)÷÷; (2) 解:(1)原式=÷÷=1. (2)原式= =. 【例3】 要使函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1)上y0恒成立，求a的取值范围. 解:由题意,得1+2x+4xa0在x∈(-∞,1)上恒成立，即a-在x∈(-∞,1)上恒成立.又∵-=-()2x-()x=-［()x+］2+,当x∈(-∞,1)时值域为(-∞,-), ∴a-. 讲评:将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.