高中总复习第一轮数学 (新人教A)第四章 4.6 三角函数的图象与性质(二).docVIP

4.6 三角函数的图象与性质(二) 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.函数y=sinx是奇(奇、偶)函数,它的图象关于点(kπ,0)(k∈Z)对称,它的图象关于直线x=kπ+(k∈Z)对称.单调区间为［-+2kπ,+2kπ］,［+2kπ,+2kπ］(k∈Z). 2.函数y=cosx是偶(奇、偶)函数.它的图象关于点(kπ+,0)(k∈Z)对称,它是轴对称图形,对称轴是x=kπ(k∈Z),单调区间是［(2k-1)π,2kπ］,［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z). 3.函数y=tanx是奇(奇、偶),它的图象关于原点对称,单调区间是［2kπ,(2k+1)π］,［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z). 二、点击双基 1.函数y=2sin(-2x)(x∈［0,π］)为增函数的区间是( ) A.［0，］ B.［,］ C.［,］ D.［,π］ 解析:y=2sin(-2x)=-2sin(2x-),其增区间可由y=2sin(2x-)的减区间得到,即2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z.∴kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.令k=0,故选C 答案:C 2.已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数),且f(5)=7,则f(-5)等于( ) A.-5 B.7 C.3 D.1 解析：f(-5)=-5a-bsin35+1=-(5a+bsin35+1)+2=-5. 答案：A 3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,］时,f(x)=sinx,则f()的值为( ) A.- B. C.- D. 解析：f()=f(-2π)=f(-)=f()=sin=. 答案：D 4.给出五个命题: ①y=cos(x+)是奇函数;②如果f(x)=a·tanx+bcosx是偶函数,则a=0;③当x=2kπ+时,y=sin(x-)取得最大值;④y=sin的值域是［-1,1］;⑤点(-,0)是y=tan(2x+)的图象的一个对称中心. 其中正确命题的序号是_________________. 答案：①②④⑤ 5.y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称,则θ=____________________. 解析：y=f(x)为偶函数. 答案：θ=kπ+(k∈Z) 诱思·实例点拨 【例1】 判断下面函数的奇偶性： f(x)=lg(sinx+). 剖析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f(x)与f(-x)的关系. 解:定义域为R，又f(x)+f(-x)=lg1=0, 即f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 讲评:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件. 【例2】 求下列函数的单调区间： (1)y=sin(-)； (2)y=-｜sin(x+)｜. 剖析:(1)要将原函数化为y=-sin(x-)再求之.(2)可画出y=-|sin(x+)|的图象. 解:(1)y=sin(-)=-sin(-). 故由2kπ-≤-≤2kπ+3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Ｚ),为单调减区间； 由2kπ+≤-≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Ｚ),为单调增区间. ∴递减区间为［3kπ-，3kπ+］, 递增区间为［3kπ+，3kπ+］ (k∈Ｚ). (2)y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ-,kπ+］,减区间为［kπ+,kπ+］. (2)不用图象能求解吗? 提示:y=-=-=-. 【例3】 (经典回放)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在区间［0,］上是单调函数,求φ和ω的值. 解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x), 即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ). ∴-cosφsinωx=cosφsinωx, 对任意x都成立,且ω0,∴得cosφ=0. 依题设0≤φ≤π,∴解得φ=. 由f(x)的图象关于点M对称,得 f(-x)=-f(+x). 取x=0,得f()=-f(),∴f()=0. ∵f()=sin(+)=cos, ∴cos=0. 又ω0,得分=+kπ,k=0,1,2,…. ∴ω=(2k+1),k=0,1,2,…, 当k=0时,ω=,f(x)=sin(x+), 在［0,］上是减函数;