第7章谓词逻辑2015-10-29-15摘要.pptVIP

* 5、合式谓词公式的范式 合式谓词公式有量词出现，用命题逻辑中的范式已无法研究，常用的有前束范式和 Skolem范式。 一个合式谓词公式，如果 ①所有量词均非否定地出现在公式最前面； ②所有量词的辖域均相同，且是整个公式。 称此合式谓词公式为前束范式。 不含自由变元的前束范式，称为闭的前束范式。 * 任一合式谓词公式都可以化为前束范式，化归的步骤如下： １）消去公式中多余量词； ２）将公式中联结词转换成∧，∨，?； ３）将公式中否定符等价地移到谓词的字母前； ４）将公式中不同变元用不同字母表示； ５）扩大各量词的辖域至整个公式。 由于各量词辖域相同，不考虑量词，可象命题逻辑中一样，把公式规范化成析取范式和合取范式，分别称为前束析取范式和前束合取范式。 * 例１： （?ｘ)[(Ａ(x)∨(?ｚ)Ｂ(ｚ，ｙ))→?(?ｙ)Ｃ(ｘ，ｙ)] ?(?ｘ)[?(Ａ(ｘ)∨(?ｚ)Ｂ(ｚ,ｙ))∨?(?ｙ)Ｃ(ｘ，ｙ)] (蕴涵式） ?(?ｘ)[(?Ａ(ｘ)∧?(?ｚ)Ｂ(ｚ,ｙ))∨(?ｙ)?Ｃ(ｘ,ｙ)](Ｄe.Ｍorgan,Ｅ19） ?(?ｘ)[(?Ａ(ｘ)∧(?ｚ)?Ｂ(ｚ,ｙ))∨(?ｕ)?Ｃ(ｘ,ｕ)] （Ｅ19） ?(?ｘ)[(?ｚ)(?Ａ(ｘ)∧?Ｂ(ｚ,ｙ))∨(?ｕ)?Ｃ(ｘ,ｕ)] （Ｅ23） ?(?ｘ)(?ｚ)(?ｕ)[(?Ａ(ｘ)∧?Ｂ(ｚ,ｙ))∨?Ｃ(ｘ,ｕ)] （Ｅ22） * 在合式谓词公式的自由变元ｘ1，ｘ2，…，ｘk前均加上全称量词（?ｘ1），（?ｘ2），…，（?ｘk），称为全称闭公式， 若在自由变元ｘ1，ｘ2，…，ｘk前均加上存在量词，称为存在闭公式。 不难验证，对一个合式谓词公式α α永真? α的全称闭公式永真 α可满足?α的存在闭公式可满足（只是少一个对自由变元的指派）。 简介一种把合式谓词公式化为Ｓｋｏｌｅｍ范式的办法。 * 设合式谓词公式的合取前束范式为 （Q1ｘ1)(Q2ｘ2）…(Qnｘn)Ｍ，其中Qi为量词，Ｍ是合取范式，且Qr为第一个存在量词， １）取合取前束范式的存在闭公式，没有破坏公式的真假； ２）若第一个存在量词Qr前不存在全称量词，则用Ｍ中没出现过的常量Ｌ代入Ｍ中所有ｘr的出现，消去前面的（Qrｘr）； ３）若第一个存在量词Qr前还有全称量词Qs1，Qs2，…，Qsm，则作一个没有出现过的命题函数符ｆ，使ｆ是变元ｘs1，ｘs2，…，ｘsm的函数，ｆ（ｘs1，ｘs2，…，ｘsm）代入Ｍ中所有ｘr的出现，并消去前面的（θr，ｘr） 不断做２），３），一直进行到存在量词全部消去，得到的合式谓词公式称为α的Ｓｋｏｌｅｍ标准型。 * 例１：（?ｘ）（?ｙ）（Ｐ（ａ，ｙ）∧Ｑ（ｘ）） （ａ为个体常量） ?（?y）（Ｐ（ａ，ｙ）∧Ｑ（ｂ）） 例３：（?ｘ）（?ｚ）（?ｕ）［（?Ａ（ｘ）∧?Ｂ（ｚ，ｙ））∨?Ｃ（ｘ，ｕ）］ ?（?ｘ）（?ｚ）（?ｕ）［（?Ａ（ｘ）∨?Ｃ（ｘ，ｕ））∧（Ｂ（ｚ，ｙ）∨?Ｃ（ｘ，ｕ））］ ?（?ｘ）（?ｚ）（?ｕ）（?ｙ）［（?Ａ（ｘ）∨?Ｃ（ｘ，ｕ））∧（Ｂ（ｚ，ｙ）∨?Ｃ（ｘ，ｕ））］ ?（?ｘ）［（?Ａ（ｘ）∨?Ｃ（ｘ，ｕ（ｘ））∧（Ｂ（ｚ（ｘ），ｙ（ｘ））∨Ｃ（ｘ，ｕ（ｘ））］ 例２：（?ｙ）（?ｘ）（Ｐ（ａ，ｙ）∧Ｑ（ｘ）） ?（?ｙ）（Ｐ（ａ，ｙ）∧Ｑ（ｆ（ｙ））） * 作业p287 4，5 * 第三节 谓词演算的推理理论 本节要求掌握的知识点： 谓词演算的4个规则（全称指定/全称推广、存在指定/推广），谓词演算的逻辑推理。 重点及难点： 重点：谓词演算的4个规则的使用。 难点：谓词演算的4个规则的使用。 * 在命题逻辑中的推理规则Ｐ，Ｔ，ＣＰ，在谓词逻辑中同样可以用，还要增加几条消去量词和添加量词的规则。 １)全称指定规则(ＵＳ)： (?ｘ)Ｐ(ｘ)?Ｐ(ｃ),c是个体域中任一个体 ２)存在指定规则（ＥＳ） (?x)Ｐ(x)?Ｐ(c) , c是个体域中某一确定个体 ３)全称推广规则（ＵＧ） Ｐ(c)?(?ｘ)Ｐ(x)，对个体域中每一个个体c， P(c)都成立 ４)存在推广规则（ＥＧ） Ｐ(c)?(?ｘ)Ｐ(x)，c是个体域中某一个个体 * 例１：证明苏格拉底的三段论。 证明： 设Ｍ（ｘ）：“ｘ是人”； D（ｘ）：“ｘ是要死的”； Ｓ：“苏格拉底”，则三段论写成： (?ｘ)(Ｍ(ｘ)→D(x))∧Ｍ(s)?D(ｓ) 1) (?ｘ)(Ｍ(x)→D(x)) Ｐ(引入前提） 2) Ｍ(s)→D(s) ＵＳ(1) 3) Ｍ(s