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高二数学选修4-1学案 4 相似三角形的判定与性质（二） 主备： 审核 班级 姓名 学号 时间 教学目标 知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，证明直角三角形射影定理。 过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：相似三角形的判定定理、性质定理等等。 教学难点：相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课 时　　3课时 一．基础知识回顾 1、如图15-14，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ ∽Δ ．此时若AD=3，BD=2，则AC= ． 答案: ACD，ABC，； 2、两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 ． 答案:. 3、如图15-15，CD是RtΔABC的斜边上的高．（1）若AD=9，CD=6，则BD= ； （2）若AB=25，BC=15，则BD= ． 答案:4；9. 4、如图15-16，已知∠1=∠2，请补充条件： （写一个即可）， 使得ΔABC∽ΔADE． 答案:∠B=∠D（或∠C=∠E，或）． 二．典型例题讲解 例1．如图15-17，A、B、C、D在一条直线上，EA⊥AD，垂足为A，AB=BC=CD=AE． 求证：ΔBCE∽ΔBED． 分析：ΔBCE与ΔBED有一个公共角，因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公共角的两边成比例． 证明：设AB=a，ΔABE中，AB=AE=a， ∴BE==a． 在ΔBCE和ΔBED中， ∵，， ∴． 又∵∠CBE=∠EBD， ∴ΔBCE∽ΔBED． 评析：三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定夹这个角的两边是否对应成比例；若无角对应相等，就证明三边对应成比例． 例2．如图15-18，E，F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且． 求证：∠AEF=∠FBD． 分析：∠AEF是RtΔAEF的一个锐角，因此要证明∠AEF=∠FBD，a． ∵， ∴EB=AF=a，AE=DF=a． 在RtΔDMF中，EM=DM=DF=a， ∴BM=a－a=a． 在RtΔAEF和RtΔMBF中， ∵，， ∠A=∠BMF=90°， ∴ΔAEF∽ΔMBF． 　　　∴∠AEF=∠FBD． 评析：本题的难点是构造含∠AEF和∠FBD的相似三角形．在含正方形的有关证明中，常借助正方形的性质采用计算法证明． 例3．如图15-19，AD、BE是ΔABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H．求证：DF2=GF·HF． 分析：由于DF，GF，HF三条线段在同一条直线上，因此想直 接得到关系式比较困难，考虑用第三个量作代换． 证明：在ΔAFH与ΔGFB中， ∵∠H＋∠BAC=90°，∠GBF＋∠BAC=90°∠H=∠GBF． ∵∠AFH=∠GFD=90°， 　　　　　　∴ΔAFH∽ΔGFB． ∴，∴AF·BF=GF·HF． ∵在RtΔABD中，FD⊥AB， ∴DF2=AF·BF．∴DF2=GF·HF． ΔABC中，BC=30，高AD=18，EFGH是ΔABC的内接矩形，EF=12，则GF=（ ）． A．7.2 B．10.8 C．12 D．9 答案:B. 3、如图15-22，ED∥FG∥BC，且DE，FG把ΔABC的面积分为相等的三部分，若BC=15，则FG的长为（ ）． A．5 B．10 C．4 D．7.5 答案:A. 4、如图15-23，已知矩形ABCD中，∠AEF=90°，则下列结论一定正确的是（ ）． A．ΔABF∽ΔAEF B．ΔABF∽ΔCEF C．ΔCEF∽ΔDAE D．ΔADE∽ΔAEF 答案:C. 5、如图15-24，在RtΔABC中，∠C=90°，D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，∠B=30，AE=7．求DE的长．