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用配对法解题 江苏省泰州市朱庄中学（225300） 曹开清 （本文发表在《少年智力开发报·数学专页》2009年第20期上） 在进行有理数运算时，恰到好处地运用配对法来求解，会收到化难为易、化繁为简的效果一、添项配对 例1 计算：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996199999998＋1999999999 分析：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与原式各数配对. 解：原式＝20＋200＋2000＋20000＋200000＋2000000200000000＋2000000000 －(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) ＝2222222220－45＝2222222175 二、分组配对 例2 计算：1－5＋9－13＋17－21＋……＋89－93＋97－101. 分析：相邻两项依次配对，每一组的和都为－4，就能很快求解. 解：原式＝(1－5)＋(9－13) ＋(17－21)＋……＋(89－93)＋(97－101) ＝－4×26＝－104 例3 计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99 分析：相邻三项依次配对，每一组的依次为0，3，6，……，96，很有规律. 解：原式＝(1＋2－3)＋(4＋5－6)＋(7＋8－9)＋…＋(97＋98－99) ＝0＋3＋6＋……＋96 ＝3×(1＋2＋……＋32)＝ 3×528＝1584. 注：邻项配对适用于某些正负相间型数的求和问题. 例4 计算： 解：原式＝ ＝＝. 三、逆序配对 例5 计算：－1－3－5－7－……－97－99. 分析：设S＝－1－3－5－7－……－97－99 再将这个式子逆序写出，然后两式相加，将和为－100的项配对计算. 解：设S＝－1－3－5－7－……－97－99 将这个式子逆序写出，得 S＝－99－97－……－7－5－3－1 两式相加，得 2S＝(－1－99)＋(－3－97)＋(－5－95)＋……＋(－97－3)＋(－99－1) ＝－100×50＝－5000 所以原式＝－5000÷2＝－2500. 注：这种方法也称高斯求和法. 例6 求所有分母不超过60的真分数的和: 分析：考虑到在每一个括号内与首尾等距离的两个数相加的和为1，因此可以把括号内各项逆序排列后相加。 解：设 将S括号内的各项逆序排列，得 两式相加，同分母分数配对求和，得 所以原式＝1770÷2＝885. 四、 裂项配对 例7 计算：. 分析：观察每一个分数，分子都是1，分母都是两个连续自然数的积. 因为，，，……，， 拆开这些分数后，同分母分数配对相互抵消，算式中只剩下首尾两个分数. 解：原式 . 注：一般地，有. 例8 计算：. 分析：与例5类似，利用，，，……，拆项配对. 解：原式 . 注：一般地，当时，. 五、错位配对 例9 计算： 解：设 ，则 两式相减，得 原式. 例10 计算： 解：设，则 两式相减，得 所以原式. 注：一列数相加，后一项与前一项的比是同一常数时，常采用这种方法. 六、倒数配对 例11 计算： 分析：注意到,,,……，，运用倒数关系配对计算比较简便. 解：原式＝ . 例12 当x等于，，……，，，－1，－2，－3，……，－2008，－2009时，计算代数式所对应的所有值的和. 分析：通过计算发现 当x＝－2时，代数式的值为；当时，代数式的值为，它们两项的和为1. 当x＝－3时，代数式的值为；当时，代数式的值为，它们两项的和为1. …… 共2008对和为1. 解：因为， 所以，当x＝－2，时，两项值的和为1；当x＝－3，时，两项值的和为1；……；当x＝－2009，时，两项值的和为1. 这样的和共2008对. 又因为x＝－1时，代数式的值为 所以，所有值的和.