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第四讲 中值定理 §1 连续函数在闭区间上的性质 ：设函数在上连续。则在上有界， 即一个使得。 ：（最值定理）：设函数在上连续。则在上至少取得最大值与最小值各一次，即使得，使得： 。 ：（介值定理）：设函数在上连续。为介于（或在 上的最大值与最小值之间的任一实数）。则在上至少一个，使。 ：（零值定理）：设函数在上连续。且与严格异号，即。则在上至少一个，使。 有关命题的证明思路： 思路之一：（直接法） 利用最值定理：。 利用介值定理，——适于上一个的命题。 思路之二：（辅助函数法） 作辅助函数。 验证辅助函数满足： 关键：辅助函数的做法：——适于上一个的命题。 辅助函数作法介绍： 将欲证结论中的或改写成； 移项。是等式一端为0，另一端记为。令， 验证是否满足零值定理，满足命题得证。 不满足，则改令。 不满足，则改令。 将展成一阶台劳公式，命题得证。 注意：辅助函数没有通过积分得到，则验证是否满足零值定理； 若通过积分得到，验证是否满足洛尔定理。 例1：设函数在上连续，且。 证明：一个，使。 证明：令，显然在上连续。 可知在上满足零值定理。 故一个，使。 即 例2：设实数满足关系式：。 证明：在内至少有一个实根。 （方程根的存在性函数零值存在定理）。 [分析]：令； ，，零值定理不成立。 改令： 证明：令 显然在上连续，在内可导， 又， ，故洛尔定理成立。 于是，使， 即：。故命题得证。 例3：设在上连续。， 。 证明：一个，使 证明：在上连续，有最值定理有：， 分别为在上最小最大值，于是： ， ， ， 由介值定理，一个，使 例4：设在上连续。。 证明:一个。使得 证明：将在处展成一阶台劳公式。 在上连续。 在上有最大值与最小值，使。 由介值定理：一个，使得。 §2 微分中值定理 ：（费尔马定理）设函数在的邻域内满足条件： ①（或）； ②在处可导。 则：。 ：（洛尔定理）设函数满足： 在上连续； 在内可导； 。 则在内至少存在一个，使。 ：（拉格朗日定理）设函数满足： 在上连续； 在内可导； 则在内至少存在一个，使。 ：（柯西定理）设函数，满足： 在上连续； 在内可导，且 则在内至少存在一个，使。 ：（台劳定理）设函数在的邻域内具有阶导数。为该邻域内异于 的任一点，则在或内至少存在一个，使： ——(1)式 其中或者称为阶台劳余项（也称拉格朗日型余项）；(1)式称为阶台劳公式。 若，由(1)式——(2)式 其中，(2)式称为麦克劳林公式 有时记成或——皮亚诺余项 注意事项： 告知具有阶可导，能展成阶台劳公式； 有时为了需要左边写成，相应的右边就应该写成； 告知具有二阶或二阶可导的命题，不管三七二十一先把在指定点处展成台劳公式再说。 重要题型： 题型之一：验证满足其中值定理： ①满足定理中条件； ②找出结论中的值 例5：验证在上满足拉氏定理。 证明：显然在上连续。 ， 在处连续，故在上连续。 ， ， ，故在内可导。 即在上满足拉氏定理。 于是，使，即 当时，，； 当时，，； 题型之二：命题的证法： 思路之一：验证在处满足费尔马定理； 思路之二：验证在包含于其内的区间满足洛尔定理； 思路之三：利用台劳公式。 例6：设在上可导，且。 证明：存在一个，使。 证明：不妨设，则。 ，有极限的保号定理： 一个。当时，恒有，； 同理， 一个。当时，恒有，。 在上连续； 在上必有最大值。 由和知最大值在内取到。 设， 由费尔马定理：。 例7：设在上连续。在内二阶可导，， 证明：存在一个，使 证明：设在上连续，在内可导。满足洛尔定理。 于是，使=0。——(1) 由积分中值定理：， 在上满足洛尔定理， 一个，使。——(2) 由(1),(2)得：。 再对在用洛尔定理，有。。 题型之三： 由所构成的代数式的证明。 证明程序： 作辅助函数； 验证满足洛尔定理。 关键：作辅助函数。 原函数法（微分方程法） 将欲证的结论中的或者改成； 将式子写成容易去掉一次导数符号的形式（即容易积分形式）； 积分，移项使等式一端为，另一端即为所求的辅助函数。 常数值法 令：； 柯西不等式为： 令：。 例8：设在上连续。在内可导，， 证明：存在一个，使。 [分析]： 证明：令， ，使