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微积分2012 微积分（下）复习 曲面面积 曲面 的面积元素 曲面 的面积公式 面积 极坐标 O 1 t 曲线、曲面积分 基本内容 第一第二类曲线积分的定义与计算 第一第二类曲面积分的定义与计算 场论初步 重点内容 格林公式 曲线积分与路径无关的四个等价命题 Gauss公式， Stocks公式 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 与方向有关 Green公式 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 联系 计 算 一投,二代,三换 一投,二代,三定号 第一类曲面积分 物理意义: 曲面的面密度为 f x, y, z , 曲面的质量. 则 一投, 二代, 三换 计算方法: 第二类曲面积分 物理意义: 单位时间内通过?并流向指定一侧的流体的质量, 即通量. 计算方法: 1. 直接投影法 下侧 一投,二代,三定号 上式右端的符号当?取上侧时为正, 取下侧时为负 2. 合一投影法 如果?的方程为 z z x, y , x, y ?Dxy Dxy 是?在xOy面上的投影区域 , 函数P, Q, R在?上连续, 则 积分号前的符号当?取上侧时为正, 取下侧时为负. 3. Gauss公式 斯托克斯公式 斯托克斯 stokes 公式 梯度 通量 旋度 环流量 散度 场论初步 14a 七.计算 x y z o 解 添加平面z 3,利用 Gauss公式 * 可分离变量方程 可降阶方程 齐次方程 一阶线性微分方程 二阶线性常系数微分方程 微分方程应用 导数的几何、物理意义，微元法, 牛顿第二定律, 质量守恒定律… 全微分方程 一阶 二阶 伯努利方程 常微分方程 Fourier级数:给定周期函数会把它展开成Fourier级数， 并会用Dirichlet收敛定理求Fourier级数的和函数 幂级数: 给定幂级数会求其收敛半径,收敛区域, 以及和函数; 给定一个初等函数,会用间接法求其幂级数展开式. 数项级数：给定任意项级数会判别其敛散性， 条件收敛还是绝对收敛 ，收敛时会求和. 级数 多元积分学 1. 重积分（概念、计算、应用） 2. 曲线积分（概念、计算、应用 3. 曲面积分（概念、计算、应用） 重点：计算 1.重积分概念 1.利用直角坐标系计算二重积分 二重积分计算 D： X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. D： 2. 利用极坐标系计算二重积分 面积元素 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域D的特点：从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点. D： 二重积分化为二次积分的公式（２） D： 二重积分化为二次积分的公式（３） D： 利用对称性化简二重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域有关于坐标轴的对称性； ２、被积函数在积分区域上有相应的奇偶性． 1 x y o o 2 4 解 0 y x 2 4 1 2 一、利用直角坐标系计算三重积分 三重积分计算 上边界曲面（上顶） 下边界曲面（下底） xOy 坐标面上的投影区域 “先一后二” （一）先投影，再确定上、下面 x 0 z y c1 c2 ? . “先二后一” z Dz （二）截面法 [c1, c2]: ? 向 z 轴的投影区间 Dz : 过 z?[c1, c2]且垂于z轴 的平面截 ? 得到的截面 0 x z y M x, y, z M r,?, z z r P x, y, 0 x y z 柱面坐标 M x, y, z ? M r, ?, z z z . . ? 二、利用柱面坐标计算三重积分 x z y 0 ? dr r rd? d? z 底面积 ：r drd? dz dV . 柱面坐标下的体积元素 . dV 0 x z y M x, y, z M r, ?, ? r ? P y x z . . . 球面坐标 ? 三、利用球面坐标计算三重积分 r ? ? dr d? x z y 0 d? rd? rsin?d? 球面坐标下的体积元素 . r 2 sin? drd?d? dV dV 利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． 0 x y z o D z 0 x y 1 一 几何应用 空间立体体积： 平面区域的面积： 重积分应用 曲面面积： 二 物理应用： 质 重 心、转动惯量、引力