金融工程学BlackScholes期权定价模型分析报告.ppt

财政金融学院 张理平? 财政金融学院 张理平? 第06章 Black-Scholes期权定价模型 股票价格的演化模型 Black-Scholes期权定价模型 Black-Scholes期权定价模型的分析 Black-Scholes期权定价模型的推广 * */26 一、股票价格的演化模型 ⒈ 有效市场假说 弱式有效市场 半强式有效市场 强式有效市场 * */26 ⒉ 布朗运动和伊藤过程 ⑴普通布朗运动 如果变量x遵循普通布朗运动，则 a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量x均值的变化值。 b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间变量x变化值的方差 * */26 ⑵ Ito过程和Ito引理 若把变量x的漂移率和方差率是x和时间t的函数，我们就得到 我们称x遵循伊藤过程。 * */26 因此函数G也遵循伊藤过程。 G的漂移率为 G的方差率为 若变量x遵循伊藤过程，则 将遵循如下过程： * */26 ⒊ 证券（股票）价格的变化过程 证券价格遵循的随机过程： 其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率）；σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility）；dz表示标准布朗运动。 一般μ和σ的单位都是年。 很显然， 是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程，也被称为几何布朗运动。 * */26 显然，证券价格变化是非连续型，其离散变化过程为： 或 例6.1（P181） * */26 回忆伊藤引理， 我们令， 则有， * */26 例： 某只股票历史数据表明，年平均收益率（连续复利）16%，价格年均波动率为30%。某交易日收盘价为50元，试计算回答以下问题： ⑴该股票价格在下一交易日的期望值是多少？ ⑵该股票价格在下一交易日的标准差是多少？ ⑶你认为该股票价格有95%的概率在什么区间波动？ * */26 二、Black-Scholes期权定价模型 ⒈ Black-Scholes微分方程的假设条件 证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数； 允许卖空； 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 不存在无风险套利机会； 证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 在衍生证券有效期内，无风险利率rf为常数； 欧式期权，股票期权，看涨期权。 * */26 ⒉ Black-Scholes微分方程的推导 ⑴ Ito Process ⑵ * */26 根据⑴和⑵，在一个很小的时间间隔里S和f的变化值分别为： 风险因子 * */26 我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则： Δt时间后， 无风险组合 * */26 在没有套利机会的条件下，必有 从而得到 著名的布莱克-舒尔斯微分方程 * */26 ⒊ 布莱克-舒尔斯期权定价公式 ⑴无股息收入股票欧式看涨期权定价公式 例6.4（P187） * */26 对BS公式的理解: ⑴N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率。 ⑵ 是X的风险中性期望值的现值。 是ST的风险中性期望值的现值。 BS公式就是未来收益期望值的贴现 ⑶ 是复制交易策略中标的资产的动态头寸。 * */26 ⑵无股息收入股票欧式看跌期权定价公式 根据欧式期权的平价关系可以直接导出无股息收入股票欧式看跌期权的定价公式。 * */26 三、Black-Scholes期权定价公式分析 ⒈ Delta Δ/δ δ值衡量的是基础资产价格的单位变动导致的期权价格变动量。 * */26 δ对冲策略： 持有δ份标的股票可以冲销1份看涨期权空头头寸所面临的风险，持有1份看涨期权多头需要卖空δ份标的股票实现风险对冲。 持有1份看跌期权的多头需要持有δ份标的股票多头实现风险对冲，持有1份看跌期权空头需要卖空δ份标的股票来对冲风险。 * */26 ⒉ Gamma Γ/γ γ值是指标的资产价格变