勾股定理中的数学思想-新课标教学网.docVIP

勾股定理中的数学思想 福建安溪县虎邱镇安溪职校　周奕生 邮编：362435E—mail:zys617@163.com059523428460，QQ：420067885. 数学思想是数学的灵魂，是数学研究、发展的指导思想，是数学解题的指路明灯.在勾股定理运用中，灵活结合数学思想可以使解题思路更开阔，解法更简洁，现举例如下： 一、方程思想 方程思想是解实际问题的重要思想，当解题陷入困境时，想起方程令人大有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”之感. 例1 如图1，母子两猴在树上的点A处戏耍，在距离树的底部B的20米处C有一水池，它们准备到池里喝水，母猴从树上滑下走到池边，小猴则爬高5米到树的顶端D出直接跃入池中，如果两猴经过的路程相同，求树高BD. 分析：设AB=x米，则BD=x+5，由AD+DC=AB+BC，得5+DC=x+20，DC=15+x， 由勾股定理，得， 即， 整理，得20x=200，所以x=10. 因此，树高BD=15米. 点评：本题抓住角B为直角，利用勾股定理列方程，从而使问题迎刃而解. 例1 “出污泥而不染”是诗人赞美荷花高风亮节、洁身自爱的良好品质.如图1，一支含苞欲放的荷花长在清澈的荷塘里，露出水面10cm，一阵强风吹来花朵顶端恰好没入水中，此时花朵的顶端C与荷花原来的距离为30cm，请问池水有多深？ 分析：设水深AB为xcm，则荷花高为（x+10）cm，在Rt△ABC中，AC=x+20，由勾股定理，得 ，解得x=40. 因此，水深为40cm. 点评：本题的解决除了勾股定理功不可没外，巧妙地抓住荷花高度不变也是至关重要的. 例1 如图1的△ABC是小新家的门口的一块空地，三边的长分别是AB=13米，BC=14米，AC=15米，现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮，问共需要多少费用？ 分析：欲知费用，只须算出△ABC的面积.由三角形面积公式可知应先求高，因此，选择以BC为底边，作高AD，设BD=x米，则DC=（14-x）米，在Rt△ABD与Rt△ACD中，由勾股定理，得 ， 故， 解得x=5，从而AD==12， 所以△ABC的面积=BC·AD=×14×12=84（平方米）， 因此，共需要费用50×84=4200（元）. 说明：本题通过作高，将斜三角形转化为直角三角形，再巧妙地借助AD这一边作为桥梁，将两个直角三角形联系起来列出方程. 例1 小明和小华的家同在一条东西向的公路边上的A、B两处（如图1），两家相距6千米，学校恰好在小明家的正北方向上的C处，他们从学校出发径直回家.如果小华的速度是小明的倍，则两人恰好同时到家.问小明和小华家距离学校各有多少千米？ 分析：由于两人的速度比为5：4，而两人同时出发同时到家，所以学校到小华家的距离与学校到小明家的比也是5：4，设学校到小华家的距离为5x千米，则到小明家的距离为4x千米，在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ，整理，得=4，所以x=2. 因此，AC=4x=8，BC=5x=10. 点评：本题将速度关系转化为路程关系，为勾股定理的应用创造了良好的条件. 二、分类讨论思想 分类讨论思想事实上是“分而治之”思想，当问题出现多种情形导致其解不同时就应采用分类讨论的方法. 例2 △ABC中，AB=15，AC=20，BC上的高AD=12，求△ABC的面积. 分析：欲求△ABC的面积，由于已知BC上的高，故只须再求BC的长.由已知及勾股定理，易知BD==9，DC==16. 现在的问题是：BC究竟是等于BD+DC还是DC-BD？因此，需要对点D与BC的位置关系进行讨论： 当AD在△ABC内部时，即点D在BC之间（如图2-1），BC=BD+DC=9+16=25，△ABC的面积=BC·AD=·25·12=150； 当AD在△ABC外部时，即点D在CB延长线上（如图2-2），BC=DC-BD=16-9=7，△ABC的面积=BC·AD=·7·12=42； 点评：解决与三角形高有关的问题时，如果有题目没有给出图形，则往往需要对高与三角形的位置关系进行分类讨论. 例2 △ABC中，AB=5，BC=4.要使这个三角形是直角三角形，AC的长应等于多少？ 分析：要使△ABC是直角三角形，它的三边AB、BC、AC的长应满足两边的平方和等于第三边.现在的问题是：究竟哪一边是第三边（即斜边）？显然，BC不可能是斜边，因此，斜边可能是AB或者AC. 若斜边是AB，则AC==3； 若斜边是AC，则AC==. 点评：已知直角三角形两边，由勾股定理即可求第三边，在斜边不确定的情况下，往往需要分类讨论.要特别当心掉入勾股数3，4，5及6，8，10的陷阱而造成漏解. 三、化归思想 化归思想也称转化思想，是指将陌生的问题转化为熟悉的问题，将一般的转化为特殊的，将繁杂的转化为简单的，将综