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編號：B521 組別：國中組 科別：數學科 類別： 作品名稱：畢式定理及其應用 作者：賀紹茹、劉亞琪、戴玉婷、梁逸昕 指導老師：王秋蓉 作者學校：桃園縣立龍潭國民中學 畢氏定理及其延伸 壹、 摘要 畢氏定理 ，又稱商高定理或是勾股弦定理 ，由畢達哥拉斯及商高提出 ，其內容為 「任一 直角三角形兩股平方之和等於斜邊平方」。可以用來計算直角三角形的邊長 ，在生活中也可 用於計算一些建築，但是否還有其他的用途或延伸，我們將深入探討。 貳、 研究動機 國二下學期上了 2-3 的商高定理(畢氏定理或勾股弦定理)後，便對商高定理產生了興 趣，想要進一步研究還有沒有其他的特性或是應用。 參、 研究目的 上完畢氏定理後，產生了一些疑問： （ㄧ）如何證明畢氏定理？課本上用了3 種方法如下： （1） 畫出三個大小不同的直角三角形 ，然後算出三邊長的平方 ，發現兩股的平方相加 會等於斜邊的平方。 （2 ）如圖(ㄧ) 圖(ㄧ) △ ABC 是一個直角三角形 ，P 、Q 、R 分別為以線段 BC 、線段 AC 、線段 AB 的長度 畫出的正方形，假設線段 BC ＝a ，線段AC ＝b ，線段AB ＝c ，利用四個△ABC 及邊 長為 c 的正方形可拼出一邊長為 a ＋b 的正方形 EFCD 。 R面積 ＝(a+b)2 －4×a×b× 1/2 2 2 ＝a ＋2ab ＋b －2ab 2 2 ＝a ＋b ＝P ＋Q 2 2 2 2 R=c ，所以a ＋b ＝c （3 ）劉徽的出入相補原理 但是，還有其他的證明方法嗎？ 1 2 2 2 （二）直角三角形符合畢氏定理（a ＋b ＝c ），那鈍角三角形和銳角三角形是否也符合？ 2 2 2 （三）直角三角形有幾種特殊組合，如：3 、4 、5 ，3 ＋4 =5 ，這樣的自然數組合稱為畢達哥 拉斯之數，還有其他的畢達哥拉斯之數嗎？有哪些？ （四）人是動物 ，但動物不一定是人 ，直角三角形的三邊比為 3 ：4 ：5 ，那三邊比為 3 ：4 ：5 的三角形一定為直角三角形嗎？ （五）直角三角形知道三邊長即可利用畢氏定理求面積，那其他三角形呢？ （六）哪些情況可以用到畢氏定理呢？ （七）怎樣可以快速畫出邊長為整數的銳角三角形及鈍角三角形？ 肆、研究設備及器材 紙、筆、三角板、電腦 伍、研究過程或方法 （ㄧ）畢氏定理的證明 到目前為止，全世界有近 400 種證明畢氏定理的方法，其中甚至連美國總統(第 20 任 總統加菲爾德)都曾經證明過，大致上可分為以下二種： （1）面積證法：就是劉徽所使用的出入相補原理，現在我們再重新做一次實驗。 1 實驗 1 ：面積證法○ 圖（二） 圖（三） 圖二將兩個較小的正方形切割，再拼成圖三，與圖二的大正方形一樣大。 三個正方形其實排出一直角三角形