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应用 应用1 柯西 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济. 验血方案的选择 应用2 应用2 解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望. 为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n / k 组. 设第 i 组需化验的次数为X i, 则 Xi P 1 k + 1 若 则E (X ) n 例如, 当 时, 选择方案(2) 较经济. 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ，X ~ U [ 2000,4000 ], 每出售一吨可赚 3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1 万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能 使平均利润最大？ 解 设每年生产 y 吨的利润为 Y 显然，2000 y 4000 应用3 应用3 显然， 故 y=3500 时, E(Y )最大, E (Y )= 8250万元 　　　一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立) 应用4 按题意 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随 机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求 数学期望的,此方法具有一定的意义. 小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 作业 P.139 习题四 1 2 3 4 5 7 习题 补 充 作 业 设 g(x) 是取正值的非减函数, X 为连续 型 r.v., 且 E( g(X) )存在， 证明: 对任意常数 a 柯西 Augustin-Louis Cauchy 1789 - 1857 法国数学家 * 第三章 第三章 随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义. r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 §３.1随机变量的数学期望 加 权 平 均 初 赛 复 赛 决 赛 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 §３.1 为这 3 个数字的加权平均 称 数学期望的概念源于此 设 X 为离散 r.v. 其分布为 若无穷级数 其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 数学期望的定义 定义 绝对收敛, 则称 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是 r.v. 定义 例1 0.8 0.2 0 2 1 0 0.1 0.3 0.6 2 1 0 1/6 3/6