数列通项公式的常见求法.docVIP

数列通项公式的常见求法 一.公式法 高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例1、（2011辽宁理）已知等差数列{an}满足 （I）求数列的通项公式； 变式训练（2014新课标文17）已知是递增的等差数列，，是方程的根。 （I）求的通项公式； 变式训练（2010新课标文17）设等差数列满足，。 （Ⅰ）求的通项公式； 变式训练（2015北京文16）已知等差数列满足 （Ⅰ）求的通项公式； 2、等比数列公式 例2.（2011重庆理）设是公比为正数的等比数列，，。 （Ⅰ）求的通项公式 变式训练（2011新课标理17）等比数列的各项均为正数，且 （Ⅰ)求数列的通项公式； 变式训练（2011新课标文17）已知等比数列中，，公比。 （II）设，求数列的通项公式。 变式训练（2014江苏理7）7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 . 3、通用公式 若已知数列的前项和或与的关系的表达式，求数列的通项可用公式 求解。一般先求出，若计算出的中当适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。 例3、已知数列的前n项和，求的通项公式。 变式训练（2013广东理19）设数列的前项和为，已知，，. （1）求的值； （2）求数列的通项公式； 变式训练（2013新课标理14）若数列的前项和为，则数列的通项公式是______. 变式训练（2015新课标理17）为数列的前项和.已知． (Ⅰ)求的通项公式； 变式训练（2015广东理21改编）数列满足：. （1）求的通项公式。 变式训练（2007重庆理）已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 （1）求{}的通项公式； 变式训练（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：和的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法 1、叠加法 一般地，对于型如类的通项公式，且的和比较好求，我们可以采用此方法来求。 即：； 例4、（2011四川理8）数列的首项为3，为等差数列且．若则，则( ) A．0 B．3 C．8 D．11 例5、已知数列满足，求数列的通项公式。 变式训练：（2010新课标理17）设数列满足， （Ⅰ)求数列的通项公式： 变式训练（2015江苏11）11.数列满足，且（），则数列前10项的和为 。 变式训练（2015上海理22） 已知数列与满足，. （1）若，且，求数列的通项公式； 2、叠乘法 一般地对于形如“已知a1，且”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：； 例6、在数列中， =1,，求的表达式。 变式训练、已知数列满足； 求数列通项公式。 3、构造法 当数列前一项和后一项即和的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。 （1）、待定系数法 ①、一般地对于型，可化为的形式重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求。 例7、已知，求数列通项。 变式训练（2014新课标2理17）已知数列满足=1，. （Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式； 变式训练（2011广东理）设b0,数列满足a1=b，. （1）求数列的通项公式； 变式训练（2013新课标1理12）设的三边长分别为，的面积为若，则( ) A、为递减数列 B、为递增数列 C、为递增数列，为递减数列 D、为递减数列，为递增数列 ②、对于这种形式,一般我们讨论两种情况： i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为型，可化为的形式来求通项。 例8.设数列中，，求的通项公式。 ii、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为（A、B、C为常数，）型，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求 例9.（2003年全国高考题）设为常数，且（）， 证明：对任意n≥1， 当然对于这种形式递推关系求时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求。 例10、已知数列满足，求数列通项公式； 变式训练（2007天津理）在数列中，，其中． （Ⅰ）求数列的通项公式； （2）、倒数法 一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 例11.已知数列满足：，求的通项公式。 例12、（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）在数列{}中，，并且对任意都有成立，令． （Ⅰ）求数