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第五章 定积分 一、基本要求及重点、难点 基本要求 （1） 理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分的定义求定积分与求极限不作要求），了解定积分的性质和积分中值定理。 （2）理解积分上限函数的概念及性质，掌握牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式。 （3）掌握定积分的换元法和分部积分法。 （4）了解两类反常积分的概念，会求反常积分。 重点及难点 （1）重点：定积分上限函数的求导及应用；定积分的计算。 （2）难点：利用定积分的换元法证明有关等式。 二、内容概述 1. 定积分的概念和性质 （1）定积分定义：  设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 把区间分成几个小区间, 几 个小区间的长度依次为 。 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，再作和记,如果不论对〔a、b〕怎样分法，也不论在小区间上点ξi怎样取法，只要当时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间上的定积分，记作 ， 即 其中做被积函数，叫做被积表达式，x叫做积分变量，分别叫做积分下限和积分上限，叫做积分区间。 注意：定积分的值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即 （2）函数在上可积的条件：1）充分条件：若在〔a, b〕上连续或在上有界且只有有限个第一类间断点，则可积。2）必要条件：若在上可积，则在上必有界。 （3）定积分的几何意义： 在几何上表示为介于x轴、曲线及直线、之间的各部分面积的代数和。在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号。 (4) 定积分的性质设函数和在区间上可积，则有1）当a=b时， 2）（无论ab或ab均成立）3）4） (k为常数)5) 不论a,b,c的相对位置如何，总有等式 成立 6）若在上1，则7）如果在8）设M和m分别是函数在区间上的最大值与最小值，则 9）（定积分中值定理）如果在闭区间上连续，则在上至少存在一点ξ,使得 2．微积分基本定理 (1) 积分上限函数及其性质1）定义：设函数在上连续，x为上一点，则在上的定积分显然是x的函数，记为 则称为的积分上限函数。2）定理 〈a〉若在上可积，则 =在[a, b] 上连续。 〈b〉若在上连续，则 =在[a, b]上可导， 且 注意：在用定理（b）对有关可变上限定积分求导时，   〈c〉若在上连续, 则 是在区间上的一个原函数。 (2) 牛顿—莱布尼兹公式 若是连续函数在区间上的任意一个原函数， 则 注意：牛顿—莱布尼兹公式的适用条件，被积函数在闭区间上处处连续（两 端点也不例外）。 3.定积分的计算(1)定积分的换元法 设函数在上连续，在区间上单值且有连续导数，其值域不超出，则有 （其中：）注意：换元必换限 (2) 定积分的分部积分法 设函数,在上具有连续导数,则 (3) 常用公式 1）设在对称区间上连续，则  2)  4.反常积分 （1）无穷限的反常积分 1）设在上有定义，且在任一个有界区间上存在积分，若存在，则称此极限值为在上的反常积分，记=，此时说反常积分收敛，若极限不存在，则说反常积分发散。同理，可定义在区间上的反常积分的敛散性。 2）设在上有定义，若对某个，反常积分和都收敛，则=+，此时称收敛，否则称发散。 （2）无界函数的反常积分 1）、设在区间上有定义，且在任何一个区间，上可积，若存在，则称在上的反常积分收敛，记作=。同理可定义在区间上反常积分的敛散性。 2）、设在和都有定义，且，在及上可积，定义=，若右端两个极限都存在，则称反常积分收敛，否则发散。 （3）两个重要结论 1）、无穷极限当时收敛，当时发散 2）、反常积分或，当时收敛，当时发散。 三、典型例题分析 例1：当为何值时，函数有极值？ 是极大值还是极小值？解：按求函数极值的步骤，先求驻点： 由于 令得驻点 为确定这些驻点是否为极值点，可考察的符号，列表如下： （-，-1） （-1，0） （0，1） （1，+） _ + _ + 可见。时是极小值，时是极大值。 例2：已知, 求。 解：（分析：利用变上限定积分的性质，注意到是积分变量，所以当对积分时，应该将看 成不变的，看作是一常数，于是便可提到积分号外面；而在求导时，是变量。） 例3：求定积分 解：原式＝　 例4：求定积分 方法一：令，