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中國剩餘定理 台師大數學研究楊瓊茹 前言 在遊覽數學史這座寶山時，一幅幅數學風景呈現眼前，人例如：中國《孫子算經》中的『物不知數』與《算盤書》中的『一次同餘組』這兩者對比下的相似性，就是很值得進一步討論的問題。在空間、時間差距甚大的場景下竟有著『幾乎一致』的內容，其中是否有數學文化的交流？或者是歷史的巧合，是各自數學知識獨立的發展？甚至是否源於另一個數學文化？產生什麼影響？諸如這樣的問題，也往往引起數學史家的注意及興趣。此外，我們也發現到其他相當具有特色的『物不知數』題型，例如數學詩歌、『翦管術』和『天算頌』。在本篇文章的最後部分，我們嘗試著將『物不知數』給予數學延拓。對於『物不知數』和『一次同餘組』此種類型的問題，南宋秦九韶 (1202-1261) 的一般化解法和德國數學家高斯 (Gauss) 於1801年所發表的剩餘定理相同，因此，西方國家稱此類型的問題為『中國剩餘定理』(The Chinese Remainder Theorem)。底下，我們將開始這趟數學之旅！ 文本對比 首先，引述中國《孫子算經》中『物不知數』的文本內容： 今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？ 答曰︰二十三 術曰：三三數之賸二，置一百四十；五五數之賸三，置六十三；七七數之賸二，置三十。并之得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三三數之賸一，則置七十，五五數之賸一，則置二十一，七七數之賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。 再看《算盤書》中的『一次同餘組』︰ Let a contrived number be divided by 3, also by 5, also by 7; and ask each time what remains from each division. For each unity that remains from the division by 3, retain 70; for each unity that remains from the division by 5, retain 21; and for each unity that remains from the division by 7, retain 15. And as much as the number surpasses 105, subtract from it 105; and what remains to you is the contrived number. Example: suppose from the division by 3 the remainder is 2; for this you retain twice 70, or 140; from which you subtract 105, and 35 remains. From the division by 5, the remainder is 3; for which you retain three times 21, or 63, which you add to the above 35; you get 98; and from the division by 7, the remainder is 4, for which you retain four times 15, or 60; which you add to the above 98, and you get 158; from which you subtract 105, and thee remainder is 53, which is the contrived number. 面對這兩則文本，我們先嘗試著用現代數學符號表示︰ 《孫子算經》的『物不知數』︰ N≡2 (mod3)≡3 (mod5)≡2 (mod7) N＝70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23 ； 《算盤書》的『一次同餘組』︰ N≡2 (mod3)≡3 (mod5)≡4 (mod7) N＝(70×2－105)＋21×3＋15×4－105＝53 兩者共同都有的解題概念︰ N≡(mod3)≡(mod5)≡(mod7) N＝70×＋21×＋15×－105T , 其中T是使N為最小正整數的數。 就數學表徵來看，兩者是一致的，雖然被7除的餘數以及在扣除105的順序不同，然而對解題的概念並無影響，因為兩者皆掌握到此題技巧性解法的關鍵數字70、21、15與105，並不需要嚴謹的數學理論做基礎，或許靈光一現的機智就足夠了。從文字形式上，我們很容易發現『物不知數』呈現著中國數學的特色︰給實際題目，再給解法