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线段的垂直平分线 问题1 : 在某一乡村公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两个工厂的工人就医，乡政府计划在公路边上修建一所医院，使得它到两工厂的距离相等，试问医院的院址应选在何处？ A B L A B C 问题2：在某一城镇有三个居民住宅小区A、B、C，为了方便居民的生活，政府将在该镇上修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等? A B C L A B p p A B P M N 3.14 线段的垂直平分线 观察并猜想:PA=PB C 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. P1 P1A=P1B …… 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3.14 线段的垂直平分线 A B P M N C PA=PB 直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 已知：如图， 点P在MN上. 求证： 证明：∵MN⊥AB （已知） ∴ ∠ PCA= ∠ PCB（垂直的定义） 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC （已知） ∠ PCA= ∠ PCB （已证） PC=PC （公共边） ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS） ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等） 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3.14 线段的垂直平分线 A B P M N C PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 3.14 线段的垂直平分线 A B P C 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 ? 逆 命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.14 线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 逆 定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A B P C 逆 定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.14 线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A B P C 逆 定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.14 线段的垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A B P C 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 O D E A B P C 3.9 角的平分线 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 3.14 线段的垂直平分线 定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合 A B M N P 点的集合是一条射线 点的集合是一条直线 3.14 线段的垂直平分线 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：（1）PA=PB=PC; （2）P在边AC的垂直平分线上. B A C M N M’ N’ P PA=PB PB=PC PA=PB=PC 点P在线段AB的垂直平分线上 点P在线段BC的垂直平分线上 分析： 3.14 线段的垂直平分线 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求