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勾股定理证明 證证明一 圖一图一 在圖一中， D ABC 為一直角三角形，其中 D A 為直角。在图一中， D ABC 为一直角三角形，其中 D A 为直角。 我們在邊 AB 、 BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG 、 BCED 和 ACKH 。 我们在边 AB 、 BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG 、 BCED 和 ACKH 。 過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L ，交 BC 於 M 。 过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE 并交 DE 于 L ，交 BC 于 M 。 不難證明， D FBC 全等於 D ABD （ SAS ）。 不难证明， D FBC 全等于 D ABD （ SAS ）。 所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ′ D FBC 的面積 = 2 ′ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。 所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ′ D FBC 的面积 = 2 ′ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。 類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。 类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。 即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB 2 + AC 2 = BC 2 。 即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB 2 + AC 2 = BC 2 。 由此證實了勾股定理。 由此证实了勾股定理。 這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關係來進行。这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。 不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！ 這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之歐幾里得（ Euclid of Alexandria ）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年證证明二 圖图二 圖二中，我們將4 個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。图二中，我们将4 个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。 設直角三角形的斜邊長度為 c ，其餘兩邊的長度為 a 和 b ，則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有 设直角三角形的斜边长度为 c ，其余两边的长度为 a 和 b ，则由于大正方形的面积应该等于 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有 ( a + b ) 2 ( a + b ) 2 = = 4(1/2 ab ) + c 2 4(1/2 ab ) + c 2 展開得 展开得 a 2 + 2 ab + b 2 a 2 + 2 ab + b 2 = = 2 ab + c 2 2 ab + c 2 化簡得 化简得 a 2 + b 2 a 2 + b 2 = = c 2 c 2 由此得知勾股定理成立。由此得知勾股定理成立。 證明二可以算是一個非常直接了當的證明。证明二可以算是一个非常直接了当的证明。 最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下： 圖三 图三 由面積計算可得 由面积计算可得 c 2 c 2 = = 4(1/2 ab ) + ( b - a ) 2 4(1/2 ab ) + ( b - a ) 2 展開得 展开得 = = 2 ab + b 2 - 2 ab + a 2 2 ab + b 2 - 2 ab + a 2 化簡得 化简得 c 2 c 2 = = a 2 + b 2 （定理得證） a 2 + b 2 （定理得证） 圖三的另一個重要意義是，這證明最先是由一個中國人提出證证明三 圖四 图四 圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形。图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。 不難看出，整個圖就變成一個梯形。不难看出，整个图就变成一个梯形。 利用梯形面積公