多面体欧拉定理的发现-温州中学.docVIP

多面体欧拉定理的发现 温州中学 黄 振 【教学背景】 数学不应看作真理的汇集，而主要的应看成人类活动的一种创造性的活动。因而在教学中，如何积极引导学生主动地探索，深刻剖析知识的产生、形成和发展过程，提高学生发现问题和解决问题的能力，这是我经常思考的问题。过去我认为教师讲得越细，学生学得就越容易，课堂教学效率更高，就像钻山洞一样，老师领着学生钻比学生自己摸索可能更快一些。可是我没想到，这样做会使学生养成不动脑筋的习惯，只限于被动地听课，而不愿主动地学习。本节课试图在这一方面做一个尝试。 【教学目标】 知识目标 了解多面体的概念；理解多面体欧拉公式；了解公式的发现过程和证明方法。 能力目标 ①初步了解数学概念和结论的产生过程，提高学生发现问题和解决问题的能力。 ②培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、人际交往能力和协作能力。 ③发展学生的创新意识和创新能力。 情感目标 以欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。 体验数学的简洁美（V+F-E=2），激发学生学习数学的兴趣。 【教学重点】欧拉定理的发现和证明。 【教学难点】欧拉定理的证明。 【教学设计】 一.创设情境，提出问题 播放世界杯主题曲，引出足球话题：四年一度的足球世界杯，被戏称为“绿茵场上的战争”，它令世人瞩目，吸引并造就了无数的球迷。你也许是一个狂热的球迷，但是你知道足球的黑块和白块是什么图形吗？各有多少块？如果将它看成由这些多边形所围成的几何体，你能算出它的顶点数和棱数吗? （设计意图：让学生体验数学与“现实世界”息息相关，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与的程度。） 二.探究猜想，导入定理 多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱的相交形成顶点。那么在多面体中，它的顶点数、面数和棱数之间有什么关系？请你来猜一猜。 首先让学生单独思考，然后同桌之间相互讨论。学生一般会在已学过的多面体（棱柱、棱锥等）中进行探索，得到结果。教师在学生发表自己的看法的基础上举例（如下图），随着图形由简到繁，从熟悉到不熟悉，引导学生继续思考，得出规律。 式子V+F-E＝2是否对所有的多面体都成立？继续让学生思考、讨论（寻找使上式不成立的多面体），然后汇报交流结果。 如果学生不能发现时，我们可以引导学生观察图（5），将中间的锥体的顶点向下拖动， 当顶点在棱柱的外面，此时就象在棱柱中挖去了一个“孔”，此时式子V+F-E＝2是否成立？（如下图，用多媒体演示图形变化过程）。 使式子不成立的多面体还有吗？（举例） 这些多面体与前面的有什么不同呢？学生思考后回答，教师提炼概括：考虑一个多面 体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。 像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。 而图（8）、（9）中的多面体的表面经过连续变形后，得到的是下列的图形 通过探究，学生自然而然就得到了欧拉定理： 一般地，简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间有关系V+F-E=2。（其关系式叫做欧拉公式） （设计意图：通过构建问题情境，启发学生运用类比、归纳、猜想等思维方法，去发现公式。根据从简单到复杂的认知规律，通过多面体的连续变形，使学生体验到知识的形成过程的一波三折和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内趋力。） 三.认识欧拉，激发兴趣 利用多媒体展示欧拉的生平事迹，教师解说。 欧拉（1707～1783）瑞士数学家，。他的研究涉及到有公式、定理、解法、函数、方程、常数等以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者如f (x)表示函数、∑表示连加、i、πe等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式。 下面请同学们找一找，在平面图形中，V、F、E有什么关系？ 学生分小组讨论，教师参与。 学生结论预测： 图形中每增加一个顶点，相应增加三条棱和两个面； 图形中每减少一个顶点，相应减少三条棱和两个面； 图形中每减少一条棱，相应就减少一个面； 图形中每增加一个面，相应增加一个顶点和两条棱。 图形中的棱逐条减少，最后将只剩下一条线段； 对于任意一个平面图形，将棱逐条减少，最后都只剩下一条线段，始终有V+F-E=1。 得出结论：在平面图形中，始终有V+F-E=1成立。那么在空间图形中呢？ 认识的过程总是从简单到复杂，请同学们证一证，在最简单的多面体——四面体中的欧拉公式。 学生个别学习，并分小组交流讨论，然后派代表发言。 学生的证明中可能出现没有将面BCD去掉，直接压成平面图形，如果这样做将在下一步证明时，会使V+F-E的值产生变化，从而得不到结果。教师在点评时必须要指出从立体到平面时，要注意面数的变化。 最后教师归纳总结，得出证明： 将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的