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第二节 柯西积分定理 引言: 3.3.单连通区域的Cauchy积分定理 3.3.4 复周线情形的Cauchy定理 3.2.4原函数与不定积分 2.3.5 小结与思考 柯西资料 古萨资料 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. [证毕] (1) 积分与路线无关, 定理3.6可以改写为: 定理3.7 (1) f(z)在D内的积分与路线无关, 由于在证明过程中只用到了两个结论: 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: [证毕] 3. 不定积分的定义: 定理3.8 (复积分的Newton-Leibnitz公式) 证 根据柯西基本定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算. 例8 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 例9 解 使用“凑微分” 例10 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 例10 另解 使用:“分部积分法” 例11 解 利用分部积分法可得 课堂练习 答案 例12 解 例13 解 所以积分与路线无关, 根据N-L公式: 1. 通过本课学习, 重点掌握柯西－古萨基本定理: 并注意定理成立的条件. * 3.2.1 Cauchy积分定理 3.2.2 Cauchy定理的推广 3.2.3 复周线情形的Cauchy定理 3.2.4 小结与思考 3.2.4 不定积分 目的 研究复积分与路径的无关性: 由例3.1受到的启发??积分与路径无关与函数沿着围线的积分值为零有何关系 首先:若复积分与路径无关,则对任意围线C, a b 在其上任取两点按a(起点),b(终点) C C2 C1 将曲线C分成两部分 因为积分与路径无关,所以: 结论1:若函数f(z)的积分与路径无关, 反之:若对任意围线C,f(z)沿着C的积分为零,若复积分与路径无关, 则对任意两条以a为起点,b为终点的曲线C1,C2,令: C2 C1 a b 则C是周线，从而： 结论2: 函数f(z)的积分与路径无关, 观察上节例3.1 观察上节例3.2 目的 研究复积分与路径的无关性: 转换为研究函数沿着周线的积分为零: 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 受此启发,Cahchy与1825年给出如下定理 1900,法国数学家Goursat给出如下定理: 如果f(z)?A(D)? f(z) ?A(D) ?f(z) ?C(D),这样就得到了定理3.3 定理3.3 柯西－古萨基本定理 定理中的 C 可以不是简单曲线. 此定理常称为柯西积分定理. 柯西介绍 古萨介绍 不必是简单闭曲线 推论3.4 柯西定理 推论3.5 柯西定理 3.2.2 Cauchy定理的推广 与定理3.3等价的形式是: 如果周线 C的内部 是区域,(I(C)=D) 定理3.9 如果 C是周线, I(C)=D是区域 定理3.3? 例1 解 根据柯西定理, 有 例2 证 由柯西－古萨定理, 由柯西－古萨定理, 由上节例4可知, 例3 解 根据柯西－古萨定理得 根据本章第一节例4可知, 由此希望将基本定理推广到多连域中. 1. 闭路变形原理 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 得 ︵ ︵ ︵ ︵ 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理 说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 2. 复周线情形的Cauchy定理 则称C+C1-+C2-+···+Cn-为复围线,D为其内部,记为I(D). 这个定理是计算周线内部有奇点的积分的有利武器!!! 解 依题意知, 例4 根据复合闭路定理3.10, 打洞! Cauchy定理 重要公式 Cauchy定理 重要 公式 例5 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, 例6 解 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为C不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线C内即可. 重要积分公式例3.2 例7 解 由上例可知 定理3.5 由定理3.5可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图) 1. 带活动上限的积分: 定理3.6 证 利用导数的定义来证. 定理3.6 (1) 由于积分与路线无关, 由积分的估值性质,