中央極定理的形象.pdfVIP

中央極限定理的 『形象』 last modified July 22, 2008 中央極限定理是統計學應用上很重要的基礎, 許多理論也都以中央極限定理作為假設 的依據, 在學理及應用上都佔有一席之地。 本章透過對中央極限定理的描述, 進一步以 程式繪圖去驗證, 盼藉此徹底了解中央極限定理的真正意涵。 要利用程式與繪圖來解釋或證實定理需要經過相當程度的訓練, 本章是一個不錯的開 始。 隨著練習的步驟一步步展開, 耐心的操作與細心的觀察, 非但程式寫作技巧會有很 大的進步, 對抽象或艱澀的數學也比較不懼怕。 本章將學到關於程式設計 MATLAB的程式結構、 程式的邏輯概念與程式檔案的管理。 本章關於 MATLAB 的指令與語法 指令: input, isempty, if, histfit 語法: 複合指令 (指令中使用另一個指令) 1 1 背景介紹 中央極限定理的基礎是大數法則, 其定理如下 大數法則:([1]第六章) 從同一母體隨機抽樣出n個樣本, 當n很大時, 樣本平均數x¯會很接近母體平均 數µ, 也就是, n→∞ x¯ −→ µ 中央極限定理:([1]第六章) 從一個母體中抽樣一 n筆資料, 算出樣本平均數x¯, 如果n很大(通常要求n ≥ 30), 則x¯的分配會接近常態分配, 而且x¯的平均數仍為原母體的平均數µ, σ 但x¯的標準差變小, 為 √n (σ為原母體的標準差), 這個常態分配寫成, n→∞ σ2 x¯ ∼ N µ, n 圖 1說明了中央極限定理。 2 練習 定理是可以透過嚴謹的數學過程推理證明, 也可以透過實驗驗證。 以下的練習試圖透 過電腦的模擬, 將中央極限定理 「物化、」「感官化。」 雖非理論的證明, 但透過電腦圖形 的展現, 讓一個有點抽象的定理, 活跳跳的呈現在眼前。 另一方面, 模擬的實證練習, 可 加強對定理的瞭解, 若非對定理瞭解透徹, 做出來的結果常讓 自己都莫名其妙。 範例1: 先來驗證大數法則。 找幾個不同分配的母體: 如normal,binomial,chi2,F... 等, 分別 自不同的母體抽取樣本, 樣本數由小逐漸變大 (例如,5, 10, 50, 100, · · · ), 觀 2 圖 1: 中央極限定理示意圖 察樣本平均數與母體平均數的關係。 在這個實驗裡, 我們需要不斷的改變樣本數來觀察其樣本平均數, 在程式的執行上有 個指令:input, 可以在程式執行的過程中產生互動式的效果, 動態的輸入樣本數, 而不 需每次修改程式。 關於 「input」 的用法參照 [help input]或也可以用 [doc input]看 較詳盡的說明。 請注意, 計算出來的樣本平均數必須與母體平均數做比較。 除常態分配 外, 母體平均數也需要先計算取得。 觀察大數法則的實驗結果時, 如果只是一個個均數的看, 或是一次列出幾百個, 常因 數字的紊亂看不出所以然, 只能看個大概。 若能以圖形呈現結果, 或許會比較清楚。 圖 2比較了在三種不同的樣本數下, 其平均數間的比較。 母體來 自標準常態, 每個樣本數 各抽100次, 得到100個均數, 並將之呈現在圖上。 透過圖形的觀察可以很清楚的比較 出來, 樣本數大小對於其平均數的影響及與母體均數的關係。 試著畫出如圖2的圖, 一 方面加強畫圖的能力, 一方面學習表達資訊的能力。 當然也可以進一步的計算每種樣 3