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一．仅知被积函数连续的不等式 1. 设在上连续且单调减少，证明：对于任意的，都有 。 2. 设在上连续且单调减少，证明：。 3. 设在上连续，证明。 4. 设在上连续，且满足，证明： -----------（Kantorovich）康托洛维奇不等式 二．被积函数一阶可导的不等式（对用微分中值公式或对原函数用泰勒公式） 5. 设连续可微，且 ，，证明：任给总有 。 6. 设在上连续可微，且，，证明 。 7. 设在上连续可微，且，，证明 。 三．被积函数二阶可导的不等式（用泰勒公式） 8. 设在上二次连续可微，且，，证明 。 9. 设在上二次连续可微，且，，证明 。 10. 设在上二次连续可微，且，证明 。 四．具体函数的积分不等式 11. 证明 。 12. 证明 。 ———————————————————————————————————— 一．仅知被积函数连续的不等式 1. 设在上连续且单调减少，证明：对于任意的，都有 。 证法1 （换元法）令， （ 因单减， ）。 证法2 （单调性）设， （ ） 所以单减，，即。 证法3 （利用定积分性质） 证法4 （函数最值）设 为函数的驻点，且时单增， 时单减。 所以为函数的最大值，而最小值在端点取得。又，故。 (或者为单调递减函数，为上凸函数，最小值在端点取得。) 证法5（微分中值定理）设，则 ，因为单减，所以 即，也就是，得证。 证法6 （用定积分定义） 2. 设在上连续且单调减少，证明：。 证明 作辅助函数，。 （因单调减少） 所以单调减少，故，即不等式成立。 3. 设在上连续，证明。 证明 作辅助函数， ， 所以单调减少，故，即不等式成立。 注 此题也可用不等式 快速证明。同类的题还有： 设在上连续，且，证明。 4. 设在上连续，且满足，证明： -----------（Kantorovich）康托洛维奇不等式 证明： 因为即 推得 又 故 即 。 注 (特例) 设在上连续，且满足，证明： 。 二．被积函数一阶可导的不等式（对用微分中值公式或对原函数用泰勒公式） 5. 设连续可微，且 ，，证明：任给总有 。 证 法一（对原函数用泰勒公式） 记，， 则，而 令，有 （1） （2） （1）（2） 得 则。 法二 记，，则。 若，则结论自明。 若不恒为零，则的最大值必在区间内某点取得，且该点为极值点，。用泰勒公式可得 故 若，取可得， 若，取可得。 综上有。 6. 设在上连续可微，且，，证明 。 证明 法一 。 法二 记 ，， 所以。 法三 记，； 。 当时，，单调增加，，得证。 7. 设在上连续可微，且，，证明 。 证 记 法一 仿3题可得， 易知。 法二 令 ，， 所以 同理 令 ，， 所以, 从而 法三 分部积分（用上条件） 故 三．被积函数二阶可导的不等式（用泰勒公式） 8. 设在上二次连续可微，且，，证明 证 法一 分部积分可得（用上条件） 进而 。 法二 记，分部积分可得 因为 故 注（特例）设在上二次连续可微，且，， 证明 。 9. 设在上二次连续可微，且，，证明 证明 （涉及到端点外的第三点）记，则，在该点用泰勒公式有 ， 而， 。 另法 记，，则，因 ， 即有 ， ， 二式相减得 ， 故 。 10. 设在上二次连续可微，且，证明 。 证明 1) 先证，记，由 （因） 。 2) 再证， 令， 当时，由，知单调增加，，， 故。 另法：设 （1）：由泰勒公式得 相减得： (2): 由泰勒公式得 相减得： 所以 综（1）（2）命题得证。 四．具体函数的积分不等式 11. 证明 ： 。 证明 法一 （换元） 。 法二 （后一积分换元） 。