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益智游戏“一笔画”的技巧 黄柱良 网上收集 当你还是个小学生的时候，也许就接触过“一笔画”的智力游戏了。对于一个已知的几何图形，要求用笔不间断、不重复路线的方法一次性把它画完，就是“一笔画”。现在有人把它做成手机触屏游戏，在互联网上流传。不懂技巧的人玩起来就像迷路的司机，开着车转来转去，却始终找不到正确的方向，感觉很费神。 其实，“一笔画”是个古老的问题，欧洲人把它叫做“邮递员问题”。邮递员面对错综复杂的城市街道，需要把邮件送达到分散在街道上的各个地方的客户手上，为了少走冤枉路，出发前需要对途经路线进行一个合理的规划，其中需要用到的知识就是“一笔画”。 在介绍一笔画技巧之前，我们先来了解两个基本概念：“奇数端点”和“偶数端点”，看下面的图形： 上图中：以A为端点，只有AC 一条射线；以E为原点，有EF、EJ、ERJ三条射线；以G为端点有GC、GF、GH、GJ、GK五条射线，因为以它们为端点的射线条数都为奇数，所以称它们为“奇数端点”。同理把B、C、D、F、H、J、K、L、M称为“偶数端点”。 概念：以图形中任意一点为端点的射线数量如果为奇数，这个端点就是“奇数端点”；如果为偶数，这个端点就是“偶数端点”。（在这个概念中提到的射线允许是曲线，如上图中的ERJ和ISK） 对于任意图形，它的“奇数端点”数量只有两种可能：0个或偶数个。即是说你永远也不可能画出一个有奇数个“奇数端点”的图形。【不信你自己拿纸笔试画一下，看看你能否画出一个只有1个（或3个、5个、7个……）奇数端点的图形】。而偶数端点可以是任意个，比如下面的这个圆，你可以把它看成是没有偶数端点的图形（左边），也可以把它看成是有无数个偶数端点的图形（右边）， 了解了“奇数端点”和“偶数端点”的概念后，下面我们来研究“一笔画”，研究一笔画的重点是研究“奇数端点”，而“偶数端点”可以忽略。 定理一：只有0个或2个“奇数端点”的图形才能被一笔画成。 根据定理一，不管多复杂的图形，只要算一下它的“奇数端点”数量，就立即可以知道它是否可以一笔画成了。 定理二：对于0个“奇数端点”的图形，一笔画的起点可以是图形中的任意一点，它的终点也是这个点。（即是说对于0个“奇数端点”的图形，一笔画时，可以从图形中任意一点出发，直至回到这个点结束，起点和终点会重合。） 看下面的图形，它是一个0个奇数端点的图形，根据定理二，你可以取任意一点作为一笔画的出发点（包括线段中间的任意点，如下面的X点和Y点），假如你把C点作为一笔画的出发点，那么终点也会是C点；当你把X点作为出发点，那么终点也肯定是X点。 定理三：对于有2个“奇数端点”的图形，一笔画的起点为其中任意一个“奇数端点”，其终点为另外一个“奇数端点”。 看上图，有A、B两个“奇数端点”，根据定理三，一笔画时可以从A点出发， B为终点，(或者反过来以B为出发点，A为终点)。绝对不能把“偶数端点”C、D、E、F作为一笔画的出发点，不然就会失败。 总而言之，一笔画的关键在于寻找“奇数端点”，以确定起点和终点，起点和终点找对了，一笔画就会变得非常简单。越复杂的图形，完成它的方法（指路径顺序）就越多，有些复杂的图形，你甚至可以用几十种甚至几百种不同的路径顺序完成它，只要你多尝试，就一定能成功。 对于超级复杂的图形，你还可以使用“擦除法”，把它逐步简单化，具体的做法是：1、找到正确的起点下笔，朝任意方向出发。2、一边画一边擦掉你走过的路线(如果你空间想象力比较好的话，可以不用真擦，想象被走过的路线消失了)，3、注意剩下图形的奇数端点，如果它的奇数端点总是保持着0个或2个，并且图形没有被分割成多部分，就可以证明你前面的路径没走错。如果剩下图形的奇数端点变成了4个，或者图形被分成不相连的多部分，那你就重来吧。使用这种方法虽然稍微麻烦一点，但它可以解决所有一笔画的难题，哪怕图形复杂得像世界地图一样，也可以逐步被简化，直至完全被一笔画出来。 下图是个0个奇数端点的图形，可以被一笔画，但如果先画完整的三角形，就会把剩下的图形分割成不相连的多部分，导致一笔画失败。 现在网上流传的手机触屏“一笔画”游戏中，游戏设计者为了增加游戏的难度，设计了必须走两遍的红色路线。如下图（左）：要求红色路线必须走两遍。 其实，增加红色路线并没有跳出以上三个定理所框架的范围。一笔画这种图形时，只需要多注意一点：就是在计算某个端点发射的射线数量以确定其是奇数端点还是偶数端点时，需要把红色路线的实际数量翻倍（即1条红线算2条、2条算4条……），如上图中的A、B已经不是奇数端点了，它是有4条射线的偶数端点。你可以把红线看作是紧挨着、有共同端点的两条黑线，如上图(右)。 一笔画的技巧讲完了，该是你大展身手的时候了，在网上下载一个“一笔画”手机触屏游戏来玩，只要你牢记以上三个定理，你就可以在你