2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法.pptVIP

（1）直接证明有困难 正难则反! 哪些命题适宜用反证法加以证明？ 牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题 （2）否定性命题 （4）至多，至少型命题 归纳总结 反思1： 用反证法证题的一般步骤是什么？ （1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。 （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ （1）与原命题的条件矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （2）与假设矛盾。 （1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题； （4）否定性或肯定性命题。 2、你认为反证法的使用情形有那些？ 反思2： （4）与客观事实矛盾. 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构 * * * 2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点： 由因导果 执果索因 3.在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 （1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？ （2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 这与B撒谎矛盾. 思考？ 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明 注：反证法是最常见的间接证法，同一法也是一种间接证法. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理， 最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。 否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真 反设—假设命题的结论不成立； 存真—由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论 成立。 归谬—从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾； 用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件 否定结论 导致 逻辑矛盾 反设 不成立 结论 成立 反证法的基本步骤： （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ------论正确 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题； 已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。 证明：假设a不是偶数， 则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数) ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数，与已知矛盾。 ∴假设不成立，所以a是偶数。 注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 说明：常用的正面叙述词语及其否定： 任意两个 至多有n个 都是 否定 否定 所有的 任意的 至少有一个 至多有一个 正面 词语 是 小于 () 大于（） 等于 正面 词语 不等于 小于或 等于（≤） 大于或 等于（≥） 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些 至少有n＋1个 某两个 例2： 不可能成等差数列 注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”， “不能表示为……”，“不是……”，“不存在……” ，“不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反证法 解题反思： 证明本题时，你是怎么想到反证法的？ 反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？ 例2 求证： 是无理数。 假设不成立，故 是无理数。 练一练： 练习： 例3 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a， 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反