第五章微分中值定理及其应用4.docVIP

§4 函数的最大值最小值问题 最值与极值的重要区别： 极值是一点局部的形态； 最值是某区间整体的形态。 先讨论必要性： 是在内的最大(小)值， 必是在的极大(小)值点， 是的稳定点或不可导点． 稳定点 在的可能的最值点： 不可导点 区间端点 下面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明． 1．闭区间情形 设在连续，这时在必有最大值． 则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较（如果可能的话），最大者即是最大值． 2．开区间情形 设在可导，且在有最大值．若在内有唯一的稳定点，则是最大值点． 注意强调最值的存在性 例1 一块边长为a的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形，做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？ 解 设为截去的小方块的边长，则盒的容积为 。 显然，在可导，且 令得或。因此在中有唯一的稳定点。 由实际问题本身知在中必有最大值，故知最大值为。即截去的小的方块边长为时，盒的容积最大。 例2 求函数在的最大值和最小值 解 ， 因此 ， 故的稳定点为，不可导为。 比较所有可能的最值点的函数值： 即得最大值为，最小值为。 在正午时，甲船恰在乙船正南处，以速度向正东开出；乙船也正以速度向正南开去(图5—15)．已知两船航向不变，试证：下午二时，两船相距最近． 证明 设小时后，两船相距公里，则显然有 ， 求的最小值等价于求的最小值。 令的唯一稳定点。 比较和点的值： ，， 故时函数达到最小值，即下午二时，两船相距最近． 例4 做一个圆柱形无盖铁桶，容积一定，设为．问铁桶的底半径与高的比例应为多少，才能最省铁皮? 解 设铁桶底半径为，高为(见图5—14)，则所需铁皮面积为 利用巳知条件，得．则面积可化为的函数 于是问题化为求函数在内的最小值问题． 。 令，得到唯一的稳定点，又由实际问题本身知在必有最小值，从而唯一的稳定点必是最小值点，此时有 ， 即当底半径与高相等，均为时，最省铁皮。 例4 根据物理学的费马原理，光线沿着所需时间为最少的路线传播．今有Ⅰ,Ⅱ两种介质，以为分界线．光在介质I与介质Ⅱ中的传播速度分别为和。问：光线由介质I中的点A到介质Ⅱ中的点B，应走哪一条路线? 解 取分界线L所在直线为Ox轴．过A，B作L的垂线，设垂足为，，设，并选定为坐标原点（图5-16）。 光线在同一介质中的传播途径应当是直线。设想光线从点A到点B所走的路线通过L上的点M，M的坐标为x。于是问题化为，当x取何值时，折线AMB才是光线所有的路线。 光线从点A到达点B所需的时间为 根据费马原理，我们要求的是上述函数的最小值． , 因为恒为正，所以在上严格单调上升，从而方程至多有一个根，即函数至多有一个稳定点．又因为是的连续函数，且 ， ， 所以方程的根位于区间内，记作．这就是函数的唯一稳定点．已知恒为正，因此，于是由极值第二充分条件，为函数的极小值．又， 因而连续函数的最小值必在内部达到．于是可以断定，唯一的极小值就是最小值．这表明，当点M的横坐标时，折线就是AMB光线所走的路线． 上面的时沦只告诉我们：，并不知道的具体数值．求出的值比较困难，不过实际上并不需要，我们可以从几何上作如下说明： 所满足的方程 可写为 即 或 这就是说，入射角与折线角的正弦之比等于光在两介质中的传播速度之比，这是光学上的折射定律．上面的讨论说明，光在不同的两种介质中传播时，遵守折射定律．