动了五年的压轴题.docVIP

“动”了五年的压轴题——河北省近五年中考数学压轴题综述 河北省中考数学最后一道压轴题的命制，从1996年至2001年的近五年来呈现出一个规律：都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色。　　一、单点运动型　　例1 (1999年河北省中考压轴题)如图1-1，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边与AB边所在直线的解析式分别为：y=x和y=-x+。D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点(点P与点O不重合)，连结DE和CP，其交点为Q。　　(1)求证：点Q为△COP的外心；　　(2)求正方形OABC的边长；　　(3)当⊙Q与AB相外切时，求点P的坐标。　　解：(1)∵D、E分别为正方形OABC中OC、AB的中点，　　∴DE∥OA。　　∴Q也是CP的中点。　　又∵CP是Rt△COP的斜边，　　∴点Q为△COP的外心。　　(2)由方程组　　解得　　∴点A的坐标为(4，3)。　　过点A作AF⊥ox轴，垂足为点F。　　∴OF=4，AF=3。　　由勾股定理，得OA==5。　　(3)如图1-2，当△COP的外接圆⊙Q与AB相切时，　　∵圆心Q在直线DE上，且DE⊥AB，　　∴E为⊙Q与AB相切的切点。　　又∵AE和APO分别是⊙Q的切线与割线　　∴AE2=AP·AO　　∵OA=5，AE=　　∴()2=AP·5，　　∴AP=　　∴当⊙Q与AB相切时，OP=5-　　作PH⊥ox，垂足为H。　　∵PH∥AF，　　∴　　∴OH=，　　　PH=　　∴点P的坐标为(3，)　　二、双点互动型　　例2 (1997年河北省中考压轴题)已知：如图2-1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB为⊙O的直径。动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒。　　求：(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？　　(2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离？　　解：(1)∵AD∥BC，　　∴只要QC=PD，四边形PQCD为平行四边形。　　此时，有3t=24-t，　　解，得t=6。　　即当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形。　　同理，只要PQ=CD，PD≠QC，　　四边形PQCD为等腰梯形。　　过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点(如图2-2)，则由等腰梯形的性质可知：　　EF=PD，QE=FC=2。　　∴2=[3t(24-t)]　　解得t=7　　∴t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。　　 　　　　(2)设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G(如图2-3)，过P作PH⊥BC，垂足为H。　　则PH=AB，BH=AP，　　即PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。　　由切线长定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。　　由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，　　即(26-2t)2=82+(26-4t)2　　化简整理，得3t2-26t+16=0　　解，得t1=，t2=8　　即t=秒或t=8秒时，直线PQ与⊙O相切。　　∵t=0(秒)时，PQ与⊙O相交；当t==8(秒)时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，此时PQ也与⊙O相交。　　∴当t=或t=8时，直线PQ与⊙O相切；　　当0≤t＜或8＜t≤8时，直线PQ与⊙O相交；　　当＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离。　　三、直线平移型　　例3 (2000年河北省中考压轴题)在如图3-1所示的直角坐标系中，点C在y轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，OA=2，∠AOC=60°，以OA为直径⊙P经过点C，点D在y轴上，DM为始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线，设DM与AB边的交点为M(点M在线段AB上，但与A、B两点不重合)，点N是DM与BC的交点设OD=t。　　(1)求点A和B的坐标；　　(2)设△BMN的外接圆⊙G的半径为R，请你用t表示R及点G的坐标；　　(3)当⊙G与⊙P相切时，求直角梯形OAMD的面积。　　 　　解：(1)连结AC。　　∵OA为⊙P的直径，∴∠ACO=90°　　又∵OA=2，∠AOC=60°，∴OC=1，AC=　　∴点A的坐标为(,1)　　又OABC为平行四边形，∵ABOC，　　∴点B的坐标为(,2)　　(2)∵DM⊥y轴，且AB∥OC，∴DM⊥AB。　　∴∠NMB=90°　　∴⊙G的圆心G为BN的中点。　　又∵∠B=∠AOC=60°，∴