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求解二面角问题的基本方法 鄂尔多斯市东胜区东联现代中学 王慕伦 二面角问题因其需要充分运用立体几何的线线、线面、面面关系，具有综合性强，灵活性大的特点，因此，一直成为高考、会考的热点。求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类。 一、直接法 直接法就是根据已知条件，首先作出二面角的平面角，再求平面角大小的方法。求作二面角平面角的方法主要有： ①利用定义 即在二面角-l-的棱l上任取一点，然后在两个半平面内分别作棱的垂线a,b，则这两条垂线a,b所成的角即为二面角的平面角。 例1、在三棱锥P-ABC中， APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。 分析：所求二面角与底面ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。 略解：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可得MQN即为二面角的平面角。设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。 ②利用三垂线定理 即从半平面内的任一点A出发向另一个半平面引一条直线AH，过H作棱l的垂线HG，垂足为G，连AG，则由三垂线定理可证lAG,故AGH就是二面角-l-的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。 例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。 分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。 略解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。 ∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB， ∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=。 ∵直线B1C与平面ABC成300角， ∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=， ∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。 sinAQN==。即二面角B-B1C-A的正弦值为。 例3、如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点，求二面角B-B1E-D的余弦值。 分析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB1所在的半平面和△BEB1所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B1E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。 略解： 由题意可得直线DC平面BEB1，且垂足为C，过C作CFB1E于F（如图，F在B1E的延长线上），连DF，则由三垂线定理可得DFC即二面角的平面角。△B1C1E~△CFE，∴CF=；DF= ∴cosDFC=。 即二面角的平面角的余弦值为。 ③作棱的垂面 即若能作一个平面与棱垂直，则可证该垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。 例4、如图，在平面角为600的二面角-l-内有一点P，P到、距离分别为PC=2cm,PD=3cm,则（1）垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？ 分析：对于本题很多同学可能会这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角。 这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很棘手的问题，就是要证明P、D、E、C四点共面。故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角。 略解：∵PC、PD是两条相交直线，∴PC、PD确定一个平面，设交棱l于E，连CE、DE。∵PC⊥，∴PC⊥l,又∵PD⊥，∴PD⊥l。∴l⊥平面，则l⊥CE、DE，故CED即为二面角的平面角，即CED=600。∴CPD=1200，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE=2R===cm。 二、间接法 所谓间接法，就是不直接作出二面角的平面角，求二面角的平面角的方法。 ①基向量法：即设基向量，分别过二面角的二个面内一点作棱的垂线，把求二面角的问题转化为两垂线上的两向量的夹角问题。 例5、已知直角三角形ABC中，P为三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，,求二面角A—PC—B的大小。 解：设所求二面角的大小为，过A作AEPC于E， 过B作BFPC于F，则=，设 平面ABC，，又 设|PA|=|AB|=1，即 设