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Chap7 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 实数完备性基本定理的等价性 有关实数完备性的六个基本定理 1. 确界原理 2. 单调有界定理 3. 区间套定理 4 .有限覆盖定理 5. 聚点原理（致密性定理） 6. 柯西收敛准则 本书是以确界原理为基点，然后证明有关的定理成立等价。1→2→3→4→5 一、区间套定理与柯西准则 定义1. 设必区间列{}具有如下性质： （1），n=1,2,…；（2）， 则称{}为必区间套，或简称区间套。 定理7.1 （区间套定理）设是一区间套，则存在唯一的实数。 证明：（用单调有界原理证明2→3） 下证唯一性：若另有使，则因 推论：设{}为一区间套，．则，当时，恒有． 用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论． { 用戴得金定理证明：令，，则是的一个分划。事实上，，即非空；由的定义，不漏；，，则，，故，即不乱。故确是的一个分划。由实数连续性定理，存在唯一的实数，使得，，有。 下证。因为，由的定义，，故。又，有，则，从而。即。 最后证明唯一性。若有满足，，则 故。即这样的是唯一的。} 区间套定理的一个应用，证明数列的柯西收敛准则（3→6） 柯西收敛准则： 数列{}收敛的充分必要条件是：对任给的，存在，使得对，有。 证明：必要性用数列收敛的定义即可。下证充分性： 按假设，对任给的，存在，使得对，有，即在区间内含有{}中几乎所有的项（这里及以下，为叙述简单起见，我们用“{}中几乎所有的项”表示“{}中除有限项外的所有的项”）。 据此，令则存在N1，在区间内含有{}中几乎所有的项。这个区间记为。 再令则存在N2（N1）内含有{}中几乎所有的项。 例2 用区间套定理证明单调有界定理（3→2）．即已知： 1）区间套定理成立． 2）设为一递增且有上界M的数列． 欲证：存在极限． [ 证 ] 证明思想：设法构造一个区间套{}，使其公共点即为的极限． 为此令。记 ，并取 再记 , 同理取 如此无限进行下去，得一区间套{}． 根据区间套定理，．下面用数列极限定义证明： ，一方面，由于恒为的上界，因此 ； 另一方面，由 ； 而由区间套的构造，任何不是的上界，故；再由为递增数列，当时，必有．这样，当 时，就有 , 即 ． [ 证毕 ] 例 3 用确界定理证明区间套定理（1→3）．即已知： 1） 确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2） 设{}为一区间套． 欲证： [ 证 ] 证明思想：给出某一数集，有上界，使得的上确界即为所求的． 为此，取，其上界存在（例如 ）．由确界定理，存在 ． 首先，由为的一个上界，故，n=1，2…．再由为的最小上界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与{}为区间套相矛盾（）。所以任何．这就证得 ． 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义2 设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点。 聚点的两个等价定义： 定义2’ 对于点集S，若点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称为S的一个聚点。 定义2” 若存在各项互异的收敛数列则其极限称为S的一个聚点。 上述三个定义是等价的. 定理7.2（用有限覆盖定理证明聚点定理（4→5））设S为实轴上的有界无限点集，并设． 由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若S有聚点，则．现反设中任一点都不是S的聚点，即，在内至多只有．这样，就是的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在，为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了S）．由假设，内至多只有，所以内至多只有N个点属于S（即只覆盖了S中有限个点）．这与覆盖了全部S中无限多个点相矛盾． 所以，有界无限点集S必定至少有一个聚点．［证毕］ 例5（用聚点定理证明柯西准则5→6）柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得，这里只证其充分性． 已知条件：，存在，使得对，有．欲证收敛． 首先证有界．对于当时，有 ，→ 令，则有对．由致密性定理，存在收敛子列，设． 最后证，由条件，当时，有 于是当（同时有）时，就有 例6(用柯西准则证明单调有界原理6→2) 设为一递增且有上界M的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的． 对于单调数列，柯西条件可改述为：“，存在，当时，满足 ”．这是因为它同时保证了对一切，恒有． 倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切N，，使 依次取 使； 使； ……… 使； 把它