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第二章 直线与平面 §1 直线、平面的方程 §2 位置关系 §3 度量关系 返回 §1 直线、平面的方程 回顾一下构成直线和平面的基本要素： 两点确定一条直线； 过一点,沿一方向确定一条直线； 不共线的三点确定一个平面; 一条直线和此直线外的一点确定一个平面; 两条相交直线确定一个平面; 两条平行直线确定一个平面。 为了便于用向量法,我们以“点和向量”作为讨论出发点。 2.平面方程 一点和两个不共线的向量确定一个平面。 取定仿射标架 .已知一点 ， 两个不共线的向量 .我们来 求由点 和 确定的平面π的方程 . 思考题：利用三向量共面的充要条件推证：经过 不共线三点 的平面方程可写为 (1.12) 或 (1.13) 若 ,其中 ,则(1.12) 可化简为 ,(1.14) (1.14)称为平面的截距式方程,a,b,c分别是平面在x轴,y轴 和z轴上的截距。 3.直角坐标系下的平面方程 在直角标架下,经过点 且垂直于向量 的平面π是唯一确定的。如图2.3, 设 ,由 与 垂直,得 (1.15) 从而得 (1.16) 图2.3 命题2.1.1：在仿射坐标系 下，设 是平面 的任何两个方位向量，则平面的法 向量为 平面 的方程 中的系数 为法向量 在基底 下的系数。 §2 位置关系 点、直线、平面三者之间的位置关系如下： ·点在直线（平面）上或之外； ·直线含在平面内，或与平面交于一点，或与平面平行； ·直线与直线平行、相交、重合、异面; ·平面与平面平行、相交、重合。 在仿射标架 下，点对直线（平面）的关 系容易确定，只需将点的坐标代入直线（平面）方程验 证即可判定。 证明 两平面 的法向量 在基 下的坐标分别为 和 。 （1） 与 相交于一直线的充分必要条件为 与 不共线，即它们的坐标不成比例，也就是 （2） 与 平行的充分必要条件为 与 共线， 即有 且 与 没有公共点。设 则有 由此得到 因而有 （3） 与 重合的充分必要条件为 与 共线， 且 与 有公共点。用类似于（2）的证明方法易得 由此可得平面 的方程可写为 因为平面 过直线 ，所以直线 上的任何一点 应满足 的方程。而平面 也过直线 ，我们得 将它们代入 的方程中，得到 。故过直 线 的任何一个平面 的方程可写成的（2.3）形式。 命题2.3 三个平面 相交于一点的充