【数学】2.5等比数列前n项和(一).docVIP

§2.5　等比数列前n项和(一) 对点讲练一、等比数列前n项和的计算 例1　在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an. 分析　要求an，需求首项a1，公比q，由条件可列出关于a1和q的两个方程，解方程组即可． 解　由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝，S6＝，即 ②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.可求得a1＝，因此an＝a1qn－1＝2n－2. 总结　涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错． 变式训练1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q. 解　∵a3·an－2＝a1·an，∴a1an＝128，解方程组 得①或②将①代入Sn＝，可得q＝， 由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝，可得q＝2， 由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2. 二、利用等比数列前n项和的性质解题 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 分析　可用等比数列前n项和公式求解，也可用等比数列的性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列求解． 解　方法一　因为S2n≠2Sn，所以q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③ 将③代入①得＝64，所以S3n＝＝64×＝63. 方法二　因为{an}为等比数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 总结　通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷． 变式训练2　等比数列的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值． 解　设b1＝S10，b2＝S20－S10，…，则b7＝S70－S60. 因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S70－S60成等比数列， 所以b1，b2，…，b7成等比数列，首项为b1＝10，公比为q＝＝＝2. 求得b7＝10·26＝640.由S70－S60＝640，得S70＝1 270. 三、错位相减法的应用 例3　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)． 分析　分x＝1和x≠1两种情况． 解　(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. (2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1. ∴Sn＝－. 综上可得Sn＝. 总结　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用这一思路和方法． 变式训练3　求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和． 解　(1)当a＝0时，Sn＝1. (2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，则Sn＝＝n2. (3)当a≠1且a≠0时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1① aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an② ①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an， (1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1) ＝1－(2n－1)an＋2·＝1－(2n－1)an＋， 又1－a≠0，∴Sn＝＋. 综上，Sn＝. 1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”． 2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况． 3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{anbn}的求和，其中{an}代表等差数列，{bn}代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法． 课时作业一、选择题 1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．63 B．64 C．127 D．128 答案　C 解析　设公比为q，则由a1＝1，a5＝16得a5＝a1q4， 即16＝q4，由q0，得q＝2. 则S7＝＝＝127. 2．(2009·广东汕头模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　) A．－3 B．5 C．－31 D．33 答案　D 解析　由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9， ∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33. 3．已知公比为q (q≠1)的等比数列{a