对一道习题的探讨与分析-江苏省如皋第一中等专业学校.docVIP

重视解题反思，学会探索研究 曹江泉 使学生学会学习、学会研究是现代最根本的教育观念，数学作为一门主要学科无疑也承担着这一任务。因此在数学知识的传授过程之中重视引导学生去发现、去研究，培养学生分析问题解决问题的能力。但解题作为数学的主要任务和目的，对解题过程的反思以及包括题目在内的探索则更应成为学生学习的良好品质。作为一名学生也只有在解题的过程之中不断地注意反思和探索，才能学会学习、学会研究。 那么，应该如何引导学生在解题之后进行反思和探索呢？下面笔者谨以教学中的一个案例，进行分析、探究。 【问题】：在数列中，，（），试探索，，…，是什么数列? 一、适当引导，让学生根据已有的知识和方法进行求解。 解决问题，老师不能简单地演示，更多的应是点燃学生思维的火花，让学生在自己动手的过程之中，巩固知识、锻炼思维、培养能力。因此，我在给出上述问题之后，只是向学生提出了一个简单的问题：“我们探索，，…，是什么数列一般采用什么方法呢？”。学生在经过短暂的思考和交流之后，一致认为采用由“特殊到一般”的方法，并且很快就找到了结论： 根据题目的条件可以依次求得 ………………… 因此可以推测，，…，是一个公比为4的等比数列。 学生并没有想到对上述结论进行证明，此时教师再次进行引导：上述结论是大家根据数列的前3项归纳得出的，那么对于后面的各项来讲，结论是否一定成立呢？我们可以采用什么方法来说明？ 学生发现不可能列出所有的项，因此想到了证明的方法： 证明：当时，。 　　　所以数列，，…，是等比数列。 本题的求解，至少有三点已经给学生留下了深刻的印象，一是研究问题可以采用“由特殊到一般”的方法；二是推测的结论还需要进行证明；三是证明数列为等比数列通常是依据等比数列的定义。 二、及时点拨，让学生对照问题和求解进行反思。 解决问题是数学的灵魂，但如果对一道问题仅满足于完整的求解，那我们就会失去许多宝贵的东西，而且也不利于学生自我学习、自我研究能力的培养。因此，按照惯例在解题结束之后，我又向学生提出了要求：请大家对照本题及其求解过程进行反思。 学生在初步回顾解题过程之后发现：证明数列，，…，是等比数列，并没有用到条件。 此时，及时的点拨应该是：这是否预示着我们可以把条件去掉呢？ 学生立即陷入了沉思，并且积极地进行了探讨与交流： “用和代替了条件之后，数列，，…，还是一个公比为4的等比数列。” “好象可以把条件去掉。” “那为什么题目又要写出条件呢？” “没有条件，怎能求出，，…？” “可是在证明的时候，我们确实没有用到条件啊！” ………………… 这时，再进行必要的提示：我们要注意，等比数列中的各项是不能为0的！ 学生恍然大悟，并且很快得出：当时，。至此，大家认识到：只有当时，数列，，…，才是等比数列。 学生理解了为什么要写，也懂得了可以把换成，但却没有想到上面的证明过程不够严谨。这时我再次进行点拨：既然不能简单地把去掉，既然必须为非零实数，那么在解题的过程之中，我们就应当首先说明当时，数列，，…，的各项均不为0，这是解题严谨性的要求。同学们能说明在时，数列，，…，的各项不等于0吗？ 学生经过一番讨论思考之后，终于找到了反证法： 假设在，，…，中存在某一项（） 因为，所以。 当时，。显然矛盾，所以。 当时，因为有，从而就得到。 　　　　　又因为，所以。 　　　　　依此类推，最终可推到，这又与矛盾。 所以在，，…，中，所有的项均不为0。 通过上面的点拨反思，学生至少又有了三点收获：第一，养成了解题反思的习惯；第二，注意到等比数列各项不能为0这个关键要求；第三，懂得了解题要严谨。 三、顺势利导，让学生在解题和反思之后再行探索 数学教学就在于调动学生的思维，在学生思维活跃的时候再设情境，使学生更进一步。对上述问题的求解和反思，不能让学生就此收兵，而是就着学生的思维再行引导：刚才，我们对问题的条件进行了非常完整的反思，我们知道只要为非零实数，当时，数列，，…，就是一个公比为4的等比数列。这里，为什么公比是4呢？它与题中的哪一个因素有关系呢？ 这么一导，学生自然就注意到题中的条件，并且意识到公比4与3有很大的关系。因此，大家又按照先前的方法展开了探索： 首先，用2和-2代替了条件中的3，发现公比变为3和-1。因此，大家就得到结论：当时，公比。并且进行了证明（思维的严密性加强了）： 其次，大家又研究发现。因为当时，。 最终，又从，得出了。 这时，再向学生抛出一个问题：同学们能编出一道更具一般性的习题，并给出完整的解答吗？ 这对学生来讲已是水到渠成的事啦： 【习题】：在数列中，已知，且，其中且。求证：数列，，…，是一个公比为的等比数列。 证明：首先证明在数列，，…，中各项均不为0。 　　　假设在，，…，中存在某一项（） 因为，且，所以。 当时，。显然矛盾，所以。 当时，因为有，从