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第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言 本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。它是有限元方法中应用最普遍的单元。 对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。 2.2 弹性力学平面问题的有限元列式 2.2.1 单元位移模式及插值函数 典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m。每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。每个结点的位移可用位移矢量表示，即 每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为 为单元结点位移列阵。 1．单元的位移模式和广义坐标 在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。 假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式 （2.2.1） 它的矩阵形式是 （2.2.2） 其中 ， 由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得 （2.2.3） 上式是关于的线性方程组。是待定常数，也称为广义坐标。它可由（2.2.3）式求出。上式的系数行列式是 （2.2.4） 上式中当i,j,m的编号顺序与坐标顺序一致时（此处为逆时针），A值为正，其大小为三角形面积，因此为了方便单元的编号一般与坐标的转向一致。 （2.2.5） 同理，y也有三个线性方程组 由上面方程组可求得，即 （2.2.6） 在（2.2.5）和（2.2.6）式中 （2.2.7） 上式下标轮换，可得及。 2．位移插值函数 将求得的广义坐标代入（2.2.1）式中，则位移函数可表示为结点位移的函数，即 （2.2.8） 其中 （2.2.9） 称为单元的插值函数或形函数，这里它是的一次函数，其中，及是常数，由表达式可知，它完全由单元的大小和方位确定，一旦单元确定了，这些常数也完全确定。 （2.2.9）中的单元面积可表示为 （2.2.10） （2.2.8）式的矩阵形式是 （2.2.11） 称为插值函数矩阵或形函数矩阵。 插值函数具有如下性质： （1）在结点上插值函数的值有 （2.2.12） 也就是说在i结点上，在j,m点上。这一点与位移插值函数的表达式一致。 （2）在单元中任一点各插值函数之和应等于1，即 （2.2.3） 以上结论可以由下面得到解释，若单元发生刚体位移，如x方向有刚体位移，显然单元内任何一点的位移都应该为，当然结点位移也为，即，由（2.2.8）式得 于是有。若插值函数不满足此要求，在不能反映单元的刚体位移，用以求解必然得不到正确的结果。单元内的性质称为规一性。 （3）对于现在的单元，插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一确定。由于相邻单元公共结点的位移是相等的，因此保证了相邻单元公共边界上位移的连续性。 3．应变矩阵和应力矩阵 ⑴应变 确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。在（1.4.21）式的几何方程中，位移用（2.2.11）式代入，得到单元应变为 （2.2.14） B称为应变矩阵，L是平面的微分算子。 应变矩阵的分块矩阵是 （2.2.15） 对（2.2.9）式求导得 ， （2.2.16） 代入（2.2.15）式得 （2.2.17） 3结点三角形单元的应变矩阵为 （2.2.18） 式中，及由单元结点坐标确定，当单元确定了，这些常数也完全确定，因此B市常量矩阵。而应变，当单元结点位移确定后，单元内的应变都是常量，因此3结点三角形单元为常应变单元。在应变变化较大的区域，单元划分应适当加密，否则不能反映应变的真实变化而导致较大误差。 ⑵ 应力 单元应力可以根据物理方程求得， 而对于平面问题 式中， 因此，对于平面应力问题，弹性矩阵D为 由（2.2.14）可知，，从而可得 （2.2.19） 上式中S写成分块矩阵的形式，则 （2.2.20） S称为应力矩阵。写成分块矩阵的形式 （2.2.21） 对于平面应变问题：，，