第二章数学中使用的一般科学方法.ppt

第二章 数学中使用的一般科学方法 在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们的研究和探索中诞生的。 综观人类的科学认识史，大凡以算法为主导的数学发展时期，人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。 第二章 数学中使用的一般科学方法 在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。”（吴文俊），而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。 第二章 数学中使用的一般科学方法 20世纪最伟大的数学家冯·诺伊曼（J.Von.Neumann）在内的许多大数学家都认为数学和其他自然科学一样源于经验。 冯·诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为数众多而无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。”（引自《数学家谈数学本质》） 第二章 数学中使用的一般科学方法 菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过：“物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学，在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。”由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。因为数学的研究对象是形式化的思想材料，尽管它起源于经验，有的直接依赖于经验，但毕竞舍弃了事物的具体内容。因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重，具有自己的特点。 §2.1数学中的观察与实验 一般的科学方法中，观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途经，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。观察与实验在数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。 观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获得信息，运用思维辩认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质、获得科学知识与经验知识的重要方法。 §2.1数学中的观察与实验 尽管观察是最原始最基本的方法之一，但它是进行数学思维必须的和第一位的方法，在数学知识的发现和数学问题的解决过程中，观察也是常用的有效方法之一。 数学中的观察按观察的特征可分为定性观察（对对象的特征、性质、关系的观察）和定量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。 §2.1数学中的观察与实验 在数学活动中，常常通过观察来收集新材料，发现新事实，并通过观察可以认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。 数学活动中的观察有利于发现数学对象的特征、性质与关系，发现数学命题。在数学中靠观察获得的命题（或猜想）很多。例如，哥德巴赫猜想、费马大定理等都是由观察提出的。 §2.1数学中的观察与实验 再如：设f为整数n的素数因子的个数，按f的偶性或奇性分别称为“偶分解”或“奇分解”，如30=2?3?5为奇分解，而60=2?2?3?5为偶分解。则： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 偶 奇 奇 偶 奇 偶 奇 奇 偶 偶 11 12 13 14 15 16 奇 奇 奇 偶 偶 偶 §2.1数学中的观察与实验 通过观察可猜测：奇分解与偶分解的个数大致相等。现已证明：在前n个整数中，当n很大时，偶分解和奇分解大约一样多。 G?波利亚曾试到n=1500，并猜想n≧2时，在前n个整数中，偶分解从不占多数。数学家D?H?兰姆曾一直算到n=600000时，波利亚的猜想仍成立。但至今尚未证明。 §2.1数学中的观察与实验 欧拉曾经说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。甚至到现在还有许多关于数的性质是我们所熟悉而不能证明的；只有观察才使我们知道这些性质。因此我们认识到，在仍然是很不完善的数论中，还得把最大的希望寄托在观察之中；这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质。” §2.1数学中的观察与实验 欧拉又指出了观察的局限性，告诫人们要把“这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识，必须谨慎地与真理区别开来，”“不要轻易地把观察所发现的和仅从归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。” 数学解题过程中，观察有利于探索发现解决问题的思路，预见题目的