第三章方程(组)的迭代解法.pptVIP

3 方程（组）的迭代解法 m重根 若 2. 根的有哪些信誉好的足球投注网站 (1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) 仍取 x0=0.5 , 得 由此可见, 埃特金法加速收敛效果是相当显著的. 准确根 x* = 1.124123029, 可见迭代公式不同, 收敛情况也不同. 第二种公式比第一种公式收敛快得多, 而第三种公式不收敛. 例3 表明原方程化为 x=? (x) 的形式不同，有的收敛，有的不收敛，有的发散，只有收敛的的迭代过程xk+1=? (xk) (k=0,1,2,?)才有意义，为此我们首先要研究? (x)的不定点的存在性及迭代法xk+1=? (xk)的收敛性. 3.2.3 不动点的存在性与迭代法的收敛性 首先考察?(x)在[a, b]上不动点的存在唯一性. 定理1 设?(x)∈C[a, b]满足以下两个条件： 　　1o 对任意x∈[a, b]有a≤?(x)≤b. 　　2o 存在正数L1，使对任意x,y∈[a, b]都有 则?(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*. 证明 先证不动点的存在性. 若?(a)=a或?(b)=b，显然?(x)在[a, b]上存在不动点. 因为a≤?(x)≤b，以下设?(a)a及?(b)b定义函数 显然f(x)∈C[a, b],且满足f(a)=?(a)-a0, f(b)=?(b)-b0, 由连续函数性质可知存在 x*∈(a, b) 使 f(x*)=0，即x*=?(x*)，x*即为?(x)的不动点. 再证不动点的唯一性. 设x1*, x2*∈[a, b]都是?(x)的不动点，则由(3.2.3)得 引出矛盾，故?(x)的不动点只能是唯一的.　证毕. 在?(x)的不动点存在唯一的情况下，可得到迭代法 xk+1=?(xk)收敛的一个充分条件. 定理2 设?(x)∈C[a, b]满足定理1中的两个条件，则对任意x0∈[a, b]，由xk+1=?(xk)得到的迭代序列{xk}收敛到的不动点x*，并有误差估计式 证明 设x*∈[a, b]是?(x)在[a, b]上的唯一不动点,由条件1o，可知{xk}∈[a, b]，再由(3. 2. 3)得 因0L1，故当k→∞时序列{xk}收敛到x*. 　　下面证明估计式(3.2.4)，由(3.2.3)有 于是对任意正整数p有 上述令p→∞, 注意到limxk+p=x* (p→∞)即得(3.2.4)式. 　　又由于对任意正整数p有 上述令p→∞, 及limxk+p=x* (p→∞)即得(3.2.5)式. 证毕. 迭代过程是个极限过程. 在用迭代法进行时，必须按精度要求控制迭代次数. 误差估计式(3.2.4)原则上确定迭代次数，但它由于含有信息L而不便于实际应用. 而误差估计式(3.2.5)是实用的，只要相邻两次计算结果的偏差足够小即可保证近似值xk具有足够精度. 对定理1中的条件2o可以改为导数，即在使用时如果?(x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有 则由微分中值定理可知对任意x, y∈[a, b]有 故定理1中的条件2o是成立的.　 　　例如，在前面例3中采用的三种迭代公式，在隔根区间(1, 1.2)内，有 故前两个迭代公式收敛，第三个迭代公式不收敛. 例4： 求方程 在 内的根 。 解： 原方程可以等价变形为下列三个迭代格式 由迭代格式 （1） 取初值 得 结果是发散的？！ 由迭代格式 （2） 取初值 得 结果精确到四位有效数字，迭代到 得到收敛结果。 由迭代格式（3） 取初值 得 结果精确到四位有效数字，迭代到 得到收敛结果。 四步就能得到收敛的结果了！ 迭代格式（1）的迭代函数为 求导得 当 时 故迭代格式（1）是发散的。 分析: 迭代格式（2）的迭代函数为 当 时 由于 知当 时， 所以迭代格式（2）是收敛的。 迭代格式（3）的迭代函数为 当 时 由 时， 知当 所以迭代格式（3）也是收敛的。 结论: 通过以上算例可以看出对迭代函数 所得到的 若小于1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。 求导， 的上界若是大于1，则迭代格式发散； 3.2.4 局部收敛性与收敛阶 上面给出了迭代序列{xk}在区间[a, b]上的收敛性,通常称为全局收敛性. 有时不易检验定理的条件，实际应用时通常只在不动点x*的邻近考察其收敛性，即局部收敛性. 定义1