应用微积分(上册) 教学课件 刘春凤应用微积分 第4章 4.3.pdfVIP

主讲教师： 第 4 章 中值定理与导数应用 中值定理 洛必达法则 函数单调性和凹凸性 函数的极值与最值 函数图形描绘 1 函数单调性的判定法 2 确定函数单调区间的步骤 3 曲线的凹凸性及其判别法 4 确定函数凹凸区间的步骤 如果函数y f (x ) 在[a,b]上单调增加（单调减少）， x 那么它的图形是一条沿 轴正向上升（下降）的曲线。 曲线上各点处的切线斜率是非负的（是非正的），即 y f (x ) 0 (y f (x ) 0) 。由此可见，函数的单调性 与导数的符号有着密切的联系。 y y A B A B o a b x o a b x 反之，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下 面的定理给出了一个用导数的符号来判定函数单调性的 方法： 定理 4.5 设函数y f (x ) 在[a,b] 连续，在(a,b) 内可导。 x (a,b) f (x ) 0 y f (x ) [a,b] ； （1）若 时，有 ，则 （2 ）若x (a,b) 时，有f (x ) 0，则y f (x )[a,b] 。 证 因为函数 y f (x ) 在[a,b] 连续，在(a,b) 内可导。 [a,b] x x (x x ) 在 上任取两点 ， ,应用拉格朗日中值定理得 1 2 1 2 f (x ) f (x ) f ()(x x ) (x  x ) 2 1 2 1 1 2 由于x2 x1 0 ,且x (a,b)时,恒有f (x ) 0 ,故f () 0 于是f (x ) f (x ) f ()(x x ) 0 ，即f (x ) f (x ) ，表明 2 1 2 1 1 2 y f (x ) [a,b] 。 同理，若x (a,b) 时，恒有f (x ) 0 ，故f (ξ) 0 ， 于是f (x ) f (x ) f (ξ)(x x ) 0 ，即f (x ) f (x )，表明 2 1 2 1 1 2 y f (x ) [a,b] ，证毕。 注:(1)若f (x ) 除个别点等于零外，在区间(a,b) 上处处 为正（负），则仍有y f (x) [a,b] y f (x ) [a,b] ）； （或 f (x ) x 3 f (0) 0 f (x) 3x 2 0