应用微积分(上册) 教学课件 刘春凤应用微积分 第4章 4.4.pdfVIP

主讲教师： 第 4 章 中值定理与导数的应用 中值定理 洛必达法则 函数的单调性与凹凸性 函数的极值与最值 *函数图形的描绘 1 函数的极值及其判别条件 2 求函数极值的步骤 3 闭区间上连续函数最值的求法 4 最值问题举例 观察函数 y f (x) x 3 x 2 x 2 的图形 (1,3) 1 1 49 1 49 x 1 x f (1) 3,f ( ) ( , ) 当 和 时， 3 3 27 3 27 既不是曲线的最高点，也不是 1 x 1 x 曲线的最低点，但与 和 3 附近的函数值 1 49 (1,3) ( , ) 相比， 、 分别是最高点和最低点。也就是说 3 27 1 49 1 f (1) 3, f (3) 27 分别是当 x 1 和 x 3 附近的最大 值和最小值。为了描述这种点的性质，引进函数极值 的概念。 定义4.5 设函数f (x ) 在点x x0 的一个邻域 (x0 ,x0 ) x  x  x  x x  ( , ) ( , ) 内有定义，如果对任意 0 0 0 0 ，总有 f (x) f (x ) ，则称f (x )为函数f (x ) x0 0 0 的极大值， 称为函数 f (x ) 的极大值点；如果对任意x (x0 ,x0 ) (x0 ,x0 ) f (x) f (x ) f (x ) f (x ) x 总有 0 ，则称 0 为函数 的极小值，0 称为函数f (x ) 的极小值点。 y y o x o x 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点 1 x 1 和 x 分别为 统称为极值点。如图4.11所示，