应用微积分(下册) 教学课件 刘春凤应用微积分 第4章 4.1.pdfVIP

主讲教师： 第 4 章 中值定理与导数应用 中值定理 洛必达法则 函数单调性和凹凸性 函数的极值与最值 函数图形描绘 1 罗尔定理 2 拉格朗日中值定理 定理 4.1 设函数 满足下列条件: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) f ( b ) 在( a , b ) 内至少存在一点 使 证 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 即 使 下面证明 由于 是最大值,所以对 ,恒有 f ( x) f () 0, 由 的存在及极限的保号性可知， 因此 罗尔定理的几何意义 如果连续光滑曲线L : y f (x ) 的两个端点A 和 B 等高，则在L 上必有一点C(, f ()) ，曲线在 C 点的切线平行于 x 轴。（如图） y C y f (x ) o a b x f (x) x 2 2x 3 在区间 1,3 满足 例4.1 已知函数   罗尔定理的条件，求定理结论中的 解 f (x ) 2x 2 令f (x ) 0 ，解得 x 0 1 ,取 x 0 即可。 5   例4.2 验证罗尔定理对函数 y ln sin x 在区间 6 , 6  上的正确性． 5   解 y ln sin x 是初等函数 且在 6 , 6 上有定义，    5  由初等函数连续性可知y ln sin x 在 ， 上连续，又 6 6  5  