《数学通报》问题2043的别解.pdfVIP

· 6O · 中学数学月刊 2012年第 7期 一 类 目标函数最值 问题的统一解法 c一号， ~．t]zy--十1一 一 n一 盖传敏 (安徽省砀山中学 235300) COS0 已知Az +Bzv+Cv+ +Ey+F— O(≤ 0)，求 目标函数Z一厂(，)的取值范围或最值，这类 问题在近几年竞赛和高考题中频繁出现，本文通过 实例从三角换元的角度探讨此类问题的解法． 由三角函数性质可得 一 ． 例 1 (第 2O届 “希望杯”全 国数学邀请赛) 已知实数 ，Y满足2x。一2xy+Y一1，则z+2y 通过以上例子可以发现 ：遇到约束条件 Ax 的取值范围为 ． +Bxy+Cy +Dx+Ey+F--0(≤0)，我们可 以 解 由2z。一2xy+ ：1可得 z + (z— 把 约 束 条 件 转 化 为 ± -2- _ )一1，令 —COS0，— —sin0，其中0∈[O， ∞ 一 27)，则 z+2y—COS0+2(COS0一sin )：3cos0 蔓± 一1(≤1)的形式 3 ， 然后通过换元 — 2sin 一一~／13sin(O--f)，其中锐角 满足sin 用三角函数表示 出z，，这样就把 目标 函数 Z：== o 一 一 =，COS 一 ．由三角函数 的性质可得 ，当 f(x，)转化成了三角 函数求取值范围或最值 问 题，大大简化了解题的过程． 且仅当0— 一詈时，z+2y取最小值一 万；当 翌坝一4峨} 《数学通报》问题 2043的别解 且仅当一 一詈7c时，z+2y取最大值 丙．所以 张光强 (山东滕州市第一中学高二(53)班 277500) 因 指导教师 杨列敏 512+2y的取值范围是[一、／， ， ]． 为 例2 (2009年江西高数预赛)已知实数X，Y 认真拜读 了 《数学通报 2012年第 3期 问题 满足 2x +3y