高考数学复习点拨 直线.平面问题易错点分析.docVIP

直线、平面问题易错点分析 直线、平面是立体几何的重要内容，学生在学习这部分知识时，经常因为概念不清、主观臆断、空间想象能力差而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考 一、概念不清 例1 如图1-1，二面角为锐角，E、F为两个面上的两点，，若E、F到棱AB的距离EC=FD。求证：EF与平面所成的角也相等。 错解 如图1-1，在平面内，分别 过E、F作EC⊥AB、FD⊥AB，垂足 为C、D。连结ED、FD。∵EC=DF， CD=CD，∴Rt△ECD≌Rt△FDC。∴ ED=FC，又EF=EF，∴△ECF≌△FDE。 ∴∠EFC=∠FED。 即EF与平面所成的角相等。 辨析 由题意，EC只垂直AB，而不垂直于平面，根据直线与平面所成角的定义知，∠EFC不是EF与平面所成的角，而∠FED也不是EF与平面所成的角。因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。 正解 如图1-2，作EG⊥，G、H为 垂足。连结GF、EH，则∠EFG、∠FEH分 别是EF与、所成的角。连结CG、DH。 ∵AB⊥EC，由三垂线定理的逆定理，得 AB⊥CG。∴∠ECG是二面角 的平面角。同理，∠FDH也是二面角 的平面角。∴∠ECG=∠HDF。则Rt△EGF≌Rt△FHE。则∠EFG=∠FEH。故EF与平面所成的角也相等。 二、主观臆断 例2 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D的距离。 错解 如图2，在直二面角的面ADC内， 自D作DE⊥AC于E，连BE、BD，则BD为 所求的距离。∵DE⊥AC，∴DE、BE同为两个 全等直角三角形斜边AC上的高，∴DE=BE= ︰AC=（4×3）︰5=。∵平面ADC平面ABC ，∴∠DEB=90 。 ∴BD==DE= 。 辨析 错解中认为BE是Rt△ABC斜边上的高，而BE并不垂直AC。造成错误的原因是主观臆断，以猜测代替证明。 正解 作BF=DE= ，EC=DC︰AC= ，EF=AC--2EC=5-= 。在Rt△BFE中，BE == ，在Rt△BED中，BD=。 三、随意使用“同理可证” 例3 如图3，已知平面平面，线段分别交、于、，线段分别交、于、，线段分别交、于、，若，，，求△和△的面积之比。 错解 ∵，∴平面分别交、于、。 ∴。同理，。由等角定理， 得，。∴△∽△。∴。 ∴。 辨析 在证明过程中，如果两次证明的依据相同，可以使用“同理可证”。上述证明中，平面于、交于、，得，平面于、交于、，得，可用“同理可证”，但就不能用“同理可证”，因为、可能共面，也可能异面，故不一定成立，则两个三角形不一定相似。 正解 ∵，平面分别交、于、。∴。同理。由等角定理，得。∴，。∴。∴。∴＝＝。∴。即△和△的面积之比为。。 四、作图有误 例4 如图4—1，设二面角P-EF-Q，从点A分别作AB⊥平面P，作AC⊥平面Q，若，，.求二面角的度数。 错解 过三点的平面和平面分别交于、。∵EF⊥AC，EF⊥AB。∴EF⊥平面ABDC。∴BD⊥EF，CD⊥EF，故∠BDC为所求二面角的平面角。由∠BAC=60°，故∠BDC=120°，即二面角的平面角P-EF-Q的度数为120°。 辨析 满足条件：AB=3，AC=1，∠A=60°，∠BDC=120°的四边形ABDC是不存在的。也就是说点A不可能在二面角内不，而是在二面角外，由于作图有误，导致计算错误， 正解 如图4－2，过点A、 B、C的平面与EF垂直，故∠BDC为二面角。AD为A到EF的距离，∵Rt△ADB、Rt△ACD在同一平面内，且AD为公共边，∴A、C、B、D四点公圆。∴∠BDC=∠BAC=60，故所求二面角P-EF-Q两度数是60。 五、考虑不周 例5 在直二面角的棱上任取一点，从这点在两个面内作一条射线和棱成45角，求这两条射线间的尖角。 错解 如图5-1，直二面角d- -，AE，且∠BAD=∠CAD=45取AB=AC过B作BC⊥交AC于C,连结BD∵Rt△BDA≌Rt△CDA. ≌Rt△BDC, ∴AB=AC=BC .则△BAC为正三角形。∴∠BAC=60° 。 辨析 解题时，因考虑不周，只考虑了AC、AB同向的情况，而漏掉了反向的情况。 正解 （1）如图5-1，当AB、AC同向时，∠BAC=60°。 （2）如图5-2，当AB、AC反向时，取AB=AC=m，作BD⊥a于D，CE⊥a于E。这里∠BAD=∠CAE=45°，在△BDA中，BD=AD=m 。在△DAC中，DC=。 在Rt△BDC中 BC=， 在△ABC中∠BAC=。∴∠BAC=120°。 故所求两射线间的夹角为60°或120°。 六、特殊代替一般 例6 已知平面∥平面，线段AA′、BB′夹在两平行面