高考数学复习点拨 椭圆知识求解的误区.docVIP

椭圆知识求解的误区 　在学习椭圆的过程中，初学者往往由于对概念理解不全或忽视某种情形而导致误解．现就同学们易出现的常见误区以归纳剖析，以避免再出现类似错误． 误区之一：忽视椭圆定义 例1 平面内一点M到两定点F1(0,－5)、F2(0,5)的距离之和为10,则M点的轨迹为( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 错解:根据椭圆的定义, M点的轨迹为椭圆,故选A. 剖析: 在椭圆的定义中, 点M到两定点F1、F2的距离之和必须大于两定点的距离,即,亦即.而本题中,所以,点M的轨迹不为椭圆,而是线段F1F2. 正解:因为点M到两定点F1、F2的距离之和为│F1F2│,所以点M的轨迹是线段F1F2,故选D. 误区之二：忽视焦点的具体位置 例２　椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，且经过点Ａ（－３，０），Ｂ（０，）， 求椭圆的方程． 错解：（１）当焦点在轴上时，可设方程为，则＝３，＝， 得所求方程为． （２）当焦点在轴上时，同样可求得椭圆方程为．　　 剖析：本题错解的原因是误认为焦点位置不定，事实上，本题由Ａ、Ｂ是椭圆与坐标轴交点知，Ａ、Ｂ是顶点，由３＞知Ａ为长轴端点，而Ｂ为短轴端点．由此知焦点只能在轴上． 评注：在求椭圆方程时，不少同学往往忽视焦点位置而盲目求解，以至于造成解题的片面性而出错．求曲线方程时，若能确定焦点的具体位置，应确定，以防出现增解；若没给定坐标系，且焦点位置不能确定，要写出焦点在轴、轴两种情况下的标准方程，不能遗漏． 误区之三：忽视隐含条件 例３　若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围． 错解：因为恒过点（０，１），而当时，点（０，１）恒在椭圆内或椭圆上．所以实数的取值范围为［１，）．　　 剖析：本题错误的原因是忽视了这个隐含条件，事实上，当时，不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆． 　　因此，的取值范围应为［１，５）（５，　）． 评注：同学们在解答椭圆等圆锥曲线问题时，忽视隐含条件致错的现象较为严重，为此，解题时，一定要仔细审题，挖掘出题设中的隐含条件． 误区之四：缺乏分类意识，以偏概全．　 例４　已知椭圆的离心率，求的值． 错解：由已知得，，，　∴　 ∴，即．解之得． 剖析：题设中与５的大小关系不能确定，本题上述解法中只求了的情况． 正解：当时，，，　∴　 由已知得：．解之得． 当时，，，　∴　 由已知得：．解之得． 故或． 　　评注：在解椭圆的有关问题时，有时需要进行正确的分类讨论，否则极易犯以偏概全的错误，如当字母的取值范围不能确定时，就需要分类讨论． 误区之五：忽视存在性． 例５ 已知椭圆的两个焦点分别为，，试问在该椭圆上是否存在一点Ｐ使？若存在求三角形的面积；若不存在，说明理由． 　　错解：假设在该椭圆上存在一点Ｐ（）使， 　　由得：，故． 　　又由于，所以由椭圆的第一定义及勾股定理得： ， ∴ ∴　的面积 因此在椭圆上存在一点Ｐ满足条件． 剖析：表面上看上述解法天衣无缝，无懈可击，但本题的答案却是错误的，错因在于忽视了点Ｐ的存在性．事实上，如图３，以为直径的圆内含于椭圆中，与该椭圆无交点，所以根本不存在这样的点Ｐ使． 正解：因为，故，，设Ｐ（）是符合条件的点，由可得： ，即，故………………① 又因点Ｐ（）在椭圆上，故……………② 联立以上两方程得：，故该方程无实数解，从而上述的方程组无解，即所设的点Ｐ（）不存在，所以满足条件的点Ｐ（）根本不存在． 评注：解答椭圆问题时，常常会出现因不注意问题的存在性从而致使问题的解 答出错的现象．遇到这样的问题，常需对问题的结果进行检验．检验不仅能检查结果是否正确、完整，弥补缺漏，而且是自我监督的好方法，是培养独立思维能力的有效途径． 1 用心 爱心 专心 图３ P Ｏ F2 F1