高考数学复习点拨 授你锦囊计，助你快解题.docVIP

授你锦囊计，助你快解题 解题技巧一直是同学们追逐的对象，恰当地运用它们，可使许多疑难问题迎刃而解.鉴于此，下面就传授给你若干锦囊妙计，助你快速解题. 锦囊一：巧用等价命题 例1 判断下列命题的真假. （1）若方程至少有一个负实根，则；（2）命题“若，则”的逆命题. 分析：(1)中命题是“至少型”命题，包含情况较多，（2）中命题是否定型”问题，逻辑性较强，二命题的真假很难直接判定，因此，我们考虑通过它们的等价命题来判定. 解：（1）中命题的逆否命题是“若，则方程没有负实根”.因为当时，方程根的判别式，所以方程没有负实根，即逆否命题为真命题，所以此命题也为真命题. （2）中命题的否命题为“若，则”，显然是假命题，所以它的逆命题也是假命题. 评注：判定这两个命题的真假，分别应用了原命题和它的逆否命题是等价命题，原命题的逆命题和否命题是等价命题这两个结论；注意：逻辑联结词“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”. 锦囊二：巧用集合关系 例2 是不等式恒成立的 （填充分、必要或充要）条件. 分析：先求不等式恒成立的充要条件，再根据和充要条件对应的集合的间包含关系判定. 解：当时，可化为，恒成立； 当时，欲使不等式恒成立，须满足，解得. ∴不等式恒成立的充要条件是. ∵，∴是不等式恒成立的充分条件. 评注：设满足条件的元素构成集合，满足条件的元素构成集合.若，则是的充分条件；若，则是的必要条件；若，则是的充要条件.本题就是借助这个结论来判定的.中的二次项系数含参数，极易忽略的情形，是一个典型易错点，有的同学则是屡错屡犯，请同学们谨记.充要条件即是等价条件，在求它时，要注意做到等价转化. 锦囊三：巧用定义 例3 如图，已知共焦点的抛物线与椭圆的一个交点为，点是椭圆的左焦点且.若点的横坐标为2，则椭圆的离心率 . 分析：综合运用椭圆和抛物线的定义求解. 解：过作直线轴，依题意可得，直线是抛物线的准线且 其方程为. ∵点的横坐标为2，∴点到直线的距离为3，由抛物线的 定义可得. 设椭圆的方程为，∵，∴，∴， ∴椭圆的离心率. 评注：圆锥曲线的定义蕴含着圆锥曲线最根本的性质，千万不要忽视了它们的作用. 锦囊四：巧设方程 例4 求与双曲线共焦点，且经过点的双曲线的标准方程. 分析：共焦点即二双曲线的焦距相同，即两分母系数之差为定值，我们可巧用这一点设方程. 解：∵在双曲线中， ∴和它共焦点的双曲线方程可设为， 将点的坐标代入上面方程得，解得或（舍去）， ∴所求双曲线的标准方程为. 评注：应用此法只需设一个参数，显然比常规方法要简单，但要注意对条件的考查. 锦囊五：巧用几何意义 例5 如图，有四个平面图形：三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于轴的 直线：经过原点向右平行移动，在移动过程中扫过平面图形的面积为 （图中阴影部分），若函数的大致图象如右图，那么平面图形的形状不可能是（ ） 分析：观察函数图象可得，函数在上是增函数，即说明随着直线的右移，扫过图形的面积不断增大，从这个角度讲，四个图形都适合.但在四个图形中，函数增长的快慢是不同的，所以我们需要通过研究函数的图象的增长的快慢特征来确定答案，而确定函数增长的快慢可用导数的几何意义. 解：在函数图象上从左到右取若干点作它的切线，可发现切线的斜率从左到右是先增大后减小，由导数的几何意义可知，函数随着的增大，开始增长的越来越快，后来增长的越来越慢.根据这一点很容易判定应选C.这是因为在C中直线扫到矩形部分时，面积会呈直线上升. 评注：由导数的几何意义可知，函数在某一点的切线的斜率越大，导数就越大，那么函数在这一点附近的增长率越大，即函数在这一点附近增长的越快.这是解答本题的依据. 锦囊六：巧变形 例6 求函数的导数. 分析：本题有两个求解思路，一是视为积的导数直接求解，一是先把函数解析式展开整理后再求导.显然第后者优于前者. 解：∵，∴. 评注：把函数解析式展开后，求积的导数问题就转化成了求和的导数问题，难度降低.若一个函数是几个因式的乘积，一般都需先展开再求导. 锦囊七：巧用单调性 例7 方程在上解的个数（ ） 0 B.1 C.2 D.3 分析：根据方程构造函数，先研究它在上来探求. 解：令，，所以函数在上是增函数. 又因为有且只有一个，故选B在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，函数在区间上是单调函数，那么，函数在区间内有唯一的（变号）零点. 锦囊八：巧构造 例8 已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 . 分析：观察，可得它是函数的