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高考数学复习点拨 恒过定点的直线系背景
恒过定点的直线系背景
直线系方程以其特殊的形式和灵活的方法，为解题提供了很多方便．下面谈谈利用直线系特有的方法与技巧解决直线恒过定点的问题．
求证：不论为何实数，直线都恒过一定点．
分析：（1）因为不论取何值时，直线均通过一定点，所以可以通过对取不同的两个值，先找到一个定点，然后证明此定点在直线上；
（2）可利用过两条直线，的交点的直线系方程：（除外）；
（3）也可将思维迁移到利用关于的一元一次方程的解的问题上，若的解，则．
证法一：取时，得到直线，
取时，得到直线，
故与的交点为．
将点代入直线．
故点在直线上．
所以直线恒过一定点．
证法二：由，
整理，得，
则直线通过直线与的交点．
由方程组
解得
故直线恒过一定点．
证法三：，
，
因为为任意实数，故关于的一元一次方程的解集为．
由不得，解得，．
所以直线恒过一定点．
评注：本题由于思考的角度不同，解法也就不同，平时做练习时，要注意对问题进行多角度、多侧面的观察与思考，因为这种思索会加深我们对问题的认识，并且能开阔视野，这对于提高我们分析和解决问题的能力是大有好处的．
例2 若，且不同时为0，求证：直线必经过一个定点．
证明：因为，且不同时为0，
故可设，则有．
将其代入直线方程，得．
此方程可视为过直线与的交点的直线系方程．
解方程组得
即两直线交点为，
故直线过定点．
用心 爱心 专心
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