高考数学复习点拨 平行线是联系线面平行的纽带.docVIP

平行线是联系线面平行的纽带 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键． 1．运用中点作平行线 例1．已知四棱锥的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD． 解题分析：要证明ＭＮ∥平面PCD，通常的方法是在平面PCD内找到一直线与MN平行；或者是过直线MN构造一平面与平面PCD平行． 证法一．（如图1）取PC的中点G， 又由于Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点 所以ＮＧ∥ＢＣ，且ＮＧ＝ＢＣ 又底面ABCD为矩形 所以ＤＭ∥ＢＣ且ＤＭ＝ＢＣ 因此，ＤＭ∥ＮＧ 且ＤＭ＝ＮＧ 所以，四边形ＭＮＧＤ是平行四边形 ＭＮ∥ＤＧ 　ＭＮ平面ＰＣＤ ＤＧ平面PCD 因此，∥平面ＰＣＤ 证法二．（如图2）取ＢＣ的中点Ｇ 由于Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点 因此，ＮＧ∥ＰＣ ＮＧ平面ＰＣＤ ＰＣ平面ＰＣＤ　 所以ＮＧ∥平面ＰＣＤ 同理可证ＭＧ∥平面ＰＣＤ 又 所以平面ＭＮＧ∥平面PCD 因此，ＭＮ∥平面PCD 解题剖析：直线与平面平行的判断定理告诉我们，要证明线面平行，转化为证明线线平行，因此其关键是在平面内最为恰当的位置找出一条直线与该直线平行． 此题不论从哪一个角度解答，其关键是抓住了中点，从而构造三角形的中位线使问 题得到解决． 　　2．运用比例作平行线 　　例2．（如图3）四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中，，求证：ＭＮ∥平面BCE 　　解题分析：要证明ＭＮ∥平面ＢＣＥ，由于在平面ＢＣＥ内不易找到与ＭＮ平行的直线，因此可以考虑构造过ＭＮ的平面与平面ＢＣＥ平行． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ 是两个全等正方形，且ＡＭ＝ＦＮ， 　　所以ＣＭ＝ＢＮ 　　过点Ｎ作ＨＮ∥ＡＦ，连接ＭＨ， 　　则有 　　又ＦＮ＝ＡＭ，ＮＢ＝ＭＣ 　　所以＝ 　　因此HＭ∥BC 　　　ＨＭ平面ＢＣＥ ＣＢ平面BCE 　　则有ＨＭ∥平面ＢＣＥ 　　同理HN∥平面BCE 　　又 　　所以平面ＭＮＨ∥平面ＢＣＥ 　　因此ＭＮ∥平面ＢＣＥ 　　　　解题剖析：解答此题的关键是运用比例构造平行线．但是证题时极易把Ｍ、Ｎ 　　当作中点，而把ＭＮ看成是的中位线，得到ＭＮ∥ＣＥ的错误． 　运用中点做平线线是运用比例作平行线的特殊情况． 3运用传递性作平行线 　　例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行． 　已知：（如图4）直线与平面、，有， 且∥，∥，　　　 　求证：∥ 证法一：设过直线的平面为、， 且，　 又因为∥，∥ 　根据直线与平面平行的性质定理有： 　　∥，∥ 　　则有∥，又， 　　所以∥ 　　显然又有经过直线的平面为，且 　　根据直线与平面平行的性质定理有： 　　　∥ 　　由上可知∥ 　　因此∥得证． 解题剖析：在证题中两次运用了直线与平面平行的性质定理，把线面平行转化为了线线平行，这在证题中是经常用到的作（找）平行线的方法． 运用直线与平面平行的性质作平行线可以简述为：“过直线，作平面，找交线，则线线平行”．它揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，从而转化为直线与平面的平行，平面与平面的平行，同时也给出了一种作平行线的重要方法． 　　４运用特殊位置作平行线 　　例4．（如图5）正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？　　 解题分析：此题是要在平面ＡＥＦ内找一直线与ＭＢ平行，经计算可得：ＡＦ＝ＥＦ＝，于是考虑构造等腰ＡＥＦ与等边ＡＢＣ底边上的中线． 　　解答： 取ＡＣ的中点Ｍ， ＡＥ的中点Ｎ，所以Ｎ为ＡＥ的中点　　 　　因此ＭＮ∥ＥＣ 　　　且 又由ＦＢ∥ＥＣ 且ＥＣ＝2ＦＢ＝2得 　　所以ＭＮ∥ＦＢ，且ＭＮ＝ＦＢ 因此，ＦＮ∥ＭＢ 　　　ＦＮ平面ＡＥＦ 　　　ＭＢ平面ＡＥＦ 　　　所以ＭＢ∥平面ＡＥＦ 　　因此当点Ｍ在ＡＣ的中点时，ＭＢ∥平面ＡＥＦ 　　解题评注：这是一道较为简单的探索性题型，这里考虑了特殊位置较为简单的给出了平行线．在解题时需要有着较强的观察能力，简捷解题． 　可见，应用线面平行与面面平行的判定与性质解题时，都要转化为线线平行的问题，通 过观察图形根据定理与题设产生平行线是解题的关键．在学习中我们要善于挖掘定理的隐藏 条件，迅速确定解题方法． 用心 爱心 专心 F E C B A 图4 图3 H B D A E C N F M 图2 G B M D P N C A 图1 G B M D P N C A N M B1 A１ C1 图5