函数的对称性探究.pdfVIP

●鄢七正 函数的对称性探究 德国著名数学家、物理学家魏尔说：“美和 ) +(2一 )= 8 一 ，所 以 口=1． 对称紧密相连”．对称美便成了数学美中的一 个重要组成部分，同时也为人们研究数学提供 所 以 )=一 13+ 12+ ． 了某些启示．亚里士多德曾经说过：善和美不 例2 (广东五校联考)定义在R上的函数 能和数学完全分离，因为美的主要形式就是秩 )的图象关于点(一3 序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原 ，0)成中心对称，对任 则．函数是 中学数学的核心内容，也是 中学数 意的实数戈都有 )：一 +3) 学教学的主线．其中函数的对称性是函数的一 ， 且 一1) 个基本性质，而且利用对称性往往更能简捷地 = 1√^(0)=一2，贝4 1)+ 2)+ 3)+…+ 解决问题，对称关系还充分体现了数学之美 2008)的值为一 — — 数学是思维的体操． 解：由 )：一厂(+3)~Pdaf(+3)： 一 、 函数的点对称性 定理 1：函数Y=f()的图象关于点A(口 )． ， b)对称 的充要条件是 ，()+厂 (2a— ) 所以 )是周期函数，周期为3． = 2b． 又，()的图象关于点 (一30)成 中心 ， 推论 1：函数Y：f()与Y=2b—f(2a— )的图象关于点A(o，b)成中心对称． 对称． 推论2：函数 Y=f()的图象关于原点 所以 )十 一 一妻)=2×0，即厂．() (0，0)对称的充要条件是厂(一 )=一f()． 定理2：若函数Y=f()的图象同时关于 = 一 I厂(一一÷)． 点A (o，c)和点 (b，c)成中心对称(0≠b)， 又，()=一／ +3) 则Y=f()是周期函数，且210一bl是其一 ． 个周期． 所以厂(一 一3)= +3)即 一 )= 例 1 已知函数 )=一 +— + )． 的图象关于点(1，÷)对称，求 )． 所以 )为偶函数．_厂(3)=-厂(1)= 一 1)=1， 2)=，(0)=一2 解： )的图象关于点(1，÷)对称， 所以 1)+ 2)+，(3)=0． 所 以 1)+ 2)+ 3)+…+ 2008)