一阶线性偏微分方程求解的教学方法新探.pdfVIP

第 13卷 第 2期 滁 州 学 院 学 报 VO1．13No．2 2011年 4月 J01II}NAI，0FcHUz}o【UUNIVERSITY Apr．2011 一 阶线性偏微分方程求解的教学方法新探 张 玲，李时敏 (滁州学院数学系，安徽滁州 239000) 摘 要 ：通过常微分方程与偏微分方程之间的关系我们寻找到一种特殊的规范变换，通过此变换将复杂的偏微 分方程的求解转化为可积分的偏微分方程(含参数的常微分方程)的求解． 关键词 ：一阶线性偏微分方程；常微分方程；积分曲线；特征曲线 中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673—1794(2011)02—0088—02 一 阶线性偏微分方程的求解在各种偏微分方程 (或数 程 (4)的解 ，因此dx，dy应该与n(z，)，b(x，)成比例，设 学物理方程、数学物理方法)教材中，专门介绍的很少，大 比例数为 ，则上式变为 体方法可归结为两种：一为特征线法，二为应用与常微分 de—(，) )) 方程的关系求解。在此 ，我比较倾向于第二种方法，而且 在两种方法的基础上我们尝试应用变换法求解收效很好． 注意到 (z，)是方程 (2)的的解 ，则有dF=0． (充分性)又若 (z，)一c是一阶常微分方程 (4)的积 1 一阶线性偏微分方程 分曲线 ，则由隐函数的求导公式得 ： 设 “一 “(z，)，考虑一般的一 阶线性偏微分方程 的 形式 一 一 譬 (5) -z a(x，)‰+b(x，y)uy+c(x，y)u—f(x，) (1) 将 (5)代入常微分方程 (4)，化简即得 为求方程 (1)的解 ，先讨论一阶线性奇次偏微分方程 a(x，)56+b(x，)如 一 0 (6) a(x，)如 +b(x，y)Uy一 0 (2) 得证． 再考虑方程 (2)的更为的特殊情形： 定义 将常微分方程 (4)称为一阶线性奇次偏微分方 设 a(x，y)=-O，b(x，)≠O，则方程 (2)化为 程 (2)的特征方程，方程(4)亦可表示为形式 一 0 (3) 一 (73 方程(3)是可积分的，积分得到其通解为 ：，(z)EC 口( ，) b(z，) 、一 (R)，其 中_厂(-z)为任意的具有一阶连续导函数 的一元 其中a(x，)+6(，Y)J称为一阶线性偏微分方程 (2)的特 函数． 征方向．即沿特征线方向一阶线性偏微分方程的解u(x，￡