常见不等式恒成立问题解法探索.pdfVIP

《数理化解题研究~2013年第 期(高由) 数学篇 常见不等式恒成立闻题解法探索 江苏省宜兴市阳羡高级中学 (214200) 郭骏聪 ● |≈ _| 一 争毒 枣 患 | 船 疆 撕 近几年不等式恒成立问题频频亮相于各地的 化简过程相当复杂；若转换角度，将a看成主元变 高考及模拟题中，如2012年全国高考数学(理科) 量，看做参变量，则上述问题变成以a为变量的一 的18套试卷中就有 11套含恒成立问题．恒成立问 次函数，问题迎刃而解． 题正 日渐成为高考命题者的新宠．纵观高考对恒成 解析 ()=3x+3口，则g()=(3一)a+ 立问题的考查，主要是以函数、方程、三角、不等式、 3x一5．令h(a)=(3一 )a+3x一5．因为h(a) 数列及解析几何等高中主干知识为载体，涉及的思 0对aE[一1，1]恒成立， 想方法为函数思想，化归思想，换元思想，及数形结 所以』^(一)= 一3+ _。o， 合思想，最后可归结为求函数最值问题．因其解法 th(1)=3一戈+3 一50． 灵活多变，尤其是针对不同题型，学生往往难以找 到适合该题的捷径 有些教师干脆以 “恒成立问题 分别解得JJ．业6 ～、业6，’所所 分别解得 必分离参数”为法宝，以求达到以不变应万变的奇 卜-， 效．事实一I-，各题情况不同，以不变应万变的方法很 多情况下不仅浪费了学生宝贵的答题时间，更束缚 以一÷ 1． 了学生的思维，与新课程所倡导的发展学生创新求 点评：将 视作参数，口视为自变量是解决本题 异思维能力的理念背道而驰． 的核心所在． 事实上恒成立问题不仅出现在客观题中，更多 二、二次函数法 的现身于难度较大的中高档题，甚至压轴题也经常 二次函数法是根据二次函数图象的性质，转化 考查，令不少考生望而止步，所以掌握其解法显得 成函数最值问题，有时需运用分类讨论思想 尤为重要．本文就高考及模拟题中常见的恒成立问 例2 (2008年全国 I理科)已知函数厂()= 题的解法进行归纳，总结，探索及反思．高中阶段不 。+ax2+ +1 口∈R，若厂()在区间(一下2 1) 等式恒成立问题所涉及的函数类型较多，尤其是与 ， ， 一 初等函数有联系时，抓住初等函数的本质特点往往 内是减函数，求a的取值范围． 能很快将问题解决． 分析 本题等价于二次函数 “变轴定区间”问 一 、 一 次主元变换法 题，谁变就对谁进行讨论，但本题根据二次函数零 不等式经常会同时出现参数与变量，而分离参 点的分布，紧抓特殊点函数值的正负，问题就很简 数求出最值又较复杂困难时，其实此时须分清谁是 单了． 真正的主元，这样才会 目标明确．此情况 以主元构 成的函数为一次函数居多