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第二章 插值法 1. 教学目的与要求： （1）了解插值法的基本原则和方法； （2 ）熟练掌握Lagrange 插值公式及应用； （3 ）熟练掌握Newton 插值公式和等距点的插值公式及应用； （4 ）理解分段低次插值，了解多项式插值的龙格现象； （5 ）掌握三次样条的定义，理解三次样条插值方法； （6 ）理解数值微分公式； （7 ）能使用所学的插值法，解决插值实际问题。 2. 教学内容： 插值法在科技、工程、医学、经济等领域有非常重要的应用，它在定量分 析、结果预测中有非常重要的作用。 本章主要教学内容如下： （1）插值基本原则和方法； （2 ）Lagrange 插值法； （3 ）差商与Newton 插值法； （4 ）分段低次插值法； （5 ）三次样条插值方法； （6 ）数值微分。 3. 教学重难点： Lagrange 插值公式、Newton 插值公式和等距点的插值公式的理解和应用， 样条插值方法的理解。 各种插值微分公式的相应的误差估计；使用插值法，解决插值方面的实际问 题。 通过上机实习进一步理解插值法的基本原理。 4. 授课内容： 1 §1 引言 1.1 插值问题及代数多项式插值 插值方法是数值方法中的一种简单但又十分重要的方法，实际中，f(x) 是复杂多样的， 通常只能观测到一些离散数据；或者f(x) 过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x) 来逼近f(x) 。 1、定义： 定义 1 ：给定区间 上 n+1 个互异点 a x x x b 以及相应的函数值 [ ,a]b 0 1 n y f (x ),i 0,1, ,n ，要在函数类Φ中求一个简单的函数φ(x) 作为f (x) 的近似表达式， i i 使满足 ϕ(x ) y ,i 0,1, ,n (2.1.1) i i 这类问题称为插值问题。 (2.1.1)称为插值原则、插值条件；ϕ(x ) 称为f (x) 的插值函数, x , x , , x 为插值基点， 函 0 1 n 数类Φ为插值函数类，求插值函数的方法称为插值法。 插值函数类的取法不同，所得到的插值函数逼近的效果就不同，它的选择取决于使用上 的需要。常有代数多项式，三角函数，和有理函数等。当选择代数多项式作为插值函数类时， 称为代数多项式插值问题。 代数多项式插值问题: 设函数y=f(x) 在[a,b]有定义, 且已知在 n+1 个点a x x x b 上的函数值 0 1 n y , y , , y ，要求一个次数不高于n 的多项式 0 1 n 2 n P (x ) a =+a x +a x ++a x (2.1.2)