数形结合在高考解题中的应用.docVIP

数形结合在高考解题中的应用 　　【摘要】数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的对象，也是数学中两个最古老、最基本的问题，二者之间是密不可分的。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。 　　【关键词】数形结合 单位圆 导数 函数 方程 复数 　　每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。著名数学家华罗庚曾说过：“形缺数时难入微，数少形时难直观。”就准确而生动的说明了这一点。因此在解题时有意识的将二者结合起来，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义，而形的问题借助数去思考，分析其代数含义，使数量关系和空间形式巧妙机智地结合越来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。 　　在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。它的本质是“以形助数，以数定形”，数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”高考试题常以下列方式出现：①研究方程根的情况；②讨论函数的值域；③求变量的取值范围；④解不等式。 　　1.韦恩图 　　韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如A∩B=A∪B A=B，A=A∩B A BB=A∪B，C∪ （A∩B）= C∪A∪C∪B， C∪（A∪B）= C∪A∩C∪B等。 　　例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。 　　解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x，25-x 　　根据题意的实际意义得：32-x≥025-x≥025-x+32-x+x≥0，解不等式可得 7≤x≤25 　　例2：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？ 　　分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.用n表示集合的元素，则有： 　　n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）=48 　　即：28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48 　　∴n（A∩B∩C）=1 ，即同时参加数理化小组的有1人 　　2.数轴 　　利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题 　　例3：（1）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是. 　　解析：（1）a≤-2； 　　∵A={x|-2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A B，利用数轴上覆盖关系，因此有a≤-2. 　　点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题. 　　例4：设A={x|x2-160}，B={x|x2-4x+3≥0}，I=R. 　　求A∩B，A∪B， A∩B，A∪B. 　　分析：分别先确定集合A，B的元素， 　　A={x|-4x4} ，B={x|x≥3或x≤1}然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： 　　A∩B={x|-4x≤1或3≤x4} （公共部分） 　　A∪B=I （整个数轴都被覆盖） 　　A∩B={x|x≤-4或1x3或x≥4} （除去重合部分剩下的区域） 　　A∪B=φ （除去覆盖部分剩下的区域） 　　3.方程、函数中数形结合问题 　　作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系式，用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题，分析其几何意义，借助形的直观来解。 　　（1）“数”中思“形”。 　　例5：如果实数x，y 满足等式（x-2）2+y2=3 ，那么yx 的最大值是什么？ 　　解：设点A（x，y） 在圆（x-2）2+y2=3 上，圆心为C（2，0） ，半径等于3 。如图，则yx 是点A 与原点连线的斜率。当OA 与⊙ 相切，且切