易拉罐的优化设计.pdfVIP

第 10卷第 6期 　　　　　　　　　　　叶其孝 :易拉罐的优化设计 57 数模竞赛 易拉罐的优化设计 ( ) 叶其孝 　 北京理工大学数学系 　北京 　100081 摘 要 　本文讲述了 “易拉罐形状和尺寸的最优设计 ”问题的命题 、建模和求解, 评述了学生递交的论文中 的优缺点, 提出了若干建议. ( ) 关键词 　易拉罐 　数学建模 　约束优化问题 　　　　　　AM S 2000 97U 60 , 97C70　 1　命题 我第一次接触到易拉罐形状和尺寸是看了 [ 1] 中的一篇短文 “精明的罐装 ”, 我才明白为什么 ( ) 可口可乐易拉罐的 “直径 ”和 “高 ”之比不是很多高等数学 微积分 教材中的例题或习题 :直圆柱 的体积已知, 求使得表面积最小的直径和高之比. 这是一个应用导数求极值的很好又简单的问题. 其结论是 :直径和高之比为 10但是我们看到的易拉罐几乎没有这样的. 该文说假设易拉罐是直圆 柱体, 那么只要顶盖的厚度是其余部分的 3倍, 能够使材料最省的罐内圆柱体部分的直径和高之比 为 1/ 2. 我对 355毫升的可口可乐易拉罐做了粗略的测量, 发现大体上就是这样. 后来我又了解到在 上世纪 40年代可口可乐易拉罐的形状和尺寸确实如此. 为什么后来又改为现在的样子 :大体上是 上面是一个直圆台下面是一个直圆柱体组成的容器呢 ?我自己做了许多计算, 发现非常有趣. 也觉 ( ) 得这是一个可以融入高等数学 微积分 教学的体现数学建模思想和方法的很好的例子. 我就开始 编写与之有关的教学单元, 并多次在国内外报告, 引起听众的兴趣. 同时, 全国组委会也了解到很多 大专的同学反映赛题偏难, 主要是要用到的数学很多参赛同学可能没有学过. 这就提出了一个很有 挑战性的问题 :能不能出一些尽可能只用到像微积分那样的数学方法, 又能充分体现数学建模思想 和方法的赛题呢 ?我就大胆地命了这道题. 全国组委会也觉得可以试一试, 并进一步听取人家的反 馈意见. 2. 建模到求解 2. 1应该了解铝质可口可乐易拉罐的制作过程, 大体上是先由一块板材冲压成一个直圆柱的 ( ) 杯子, 再利用铝的延性, 在加热条件下, 把罐的侧边拉到一定的高度 因而变薄了 , 略为收口, 和较 厚的同质圆片焊接, 内外涂层, 灌装 、测试等. 这对于研究本问题来说, 实际上是很重要的. 只有少部 分队在论文中明确说明了这一点. 正如不少论文引用的参考文献 [ 2 ] 中所说的, “随着饮料包装市 场竞争的不断加剧, 对众多的制罐企业而言, 如何在易拉罐生产中最大限度地减少板材厚度, 减轻 单罐重量, 降低生产成本, 是企业追求的重要 目标. ”这当然不是数学, 至少不能单靠数学就能解决 的问题. 但是, 在满足各种物理条件下的最薄的铝板已经做出来时, 在给定饮料量后, 易拉罐不同的 形状和尺寸所用材料是不同的, 怎样使之最小, 数学建模就有用武之地了. 这就是本问题要求同学 们完成的任务. 2 2 测量. 虽然有点 “事后诸葛亮 ”, 主要的目的是要对各部分的厚度之比有一个大体上的了 解, 以备以后验证模型之用. 绝大部分队, 无论是相当精确或是比较粗糙, 都做得十分认真, 体现了 收稿 日期 : 2007 - 03 - 07 58 高等数学研究 　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年 11月