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函数图象的对称性 王明山 江苏省兴化中学023信箱 225752 mshwwq@163.com * 目的:1,进一步熟悉函数奇偶性的对称关系 2,理解相关点法的意义及步骤 3,掌握函数图象关于x=a,y=b,点(a,0)的对称规律与特征 复习:偶函数的图象关于 对称 奇函数的图象关于 对称 Y轴(x=0) 原点(0,0) 问题:一般的如x=a,y=b,点(a,0)的对称性又如何 函数图象的对称性 1、关于直线x=a的对称特征 X=a a+x a-x ⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立 练习：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+∞）上单调增，则f(x)在（-∞，5）上的单调性如何？由此你得到什么结论？ 单调减 关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反 ⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y)在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称 2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是 y=-f(x) ⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式 解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立 3、关于点(a,0)对称 练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称 ⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0 总结：本节主要说明了以下几个对称问题： ⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之也成立；关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称区间上单调性相反；y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称 ⑵f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则f(x)+g(x)=2b反之也成立 ⑶-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称；一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0 *