（正弦定理、余弦定理）典例剖析(第三课时).docVIP

［例1］根据所给条件，判断△ABC的形状. （1）AcosA=BcosB (2) 选题意图：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 解：（1）由余弦定理得： AcosA=BcosB ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. （2）由正弦定理得：代入已知等式：  即tanA=tanB=tanC ∵A、B、C∈(0,π) ∴A=B=C ∴△ABC为等边三角形. 说明：根据已知条件，适当选取使用的定理.也是应该在解题中注意的问题. ［例2］在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比. 选题意图：本例主要考查正、余弦定理的综合应用. 解：由正弦定理得： 即， 由余弦定理 整理得： 解得a=c或 ∵A=2C ∴a=c不成立 故此三角形三边之比为6∶5∶4. 说明：在应用正、余弦定理解决三角形的问题时，根据需要用到三角函数的有关公式，如本题用到正弦二倍角公式.  ［例3］证明：在△ABC中，（其中R为△ABC的外接圆的半径）. 选题意图：通过本题的证明给出正弦定理的另一种表达形式. 证明：设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，如图5—17， 由图（1）知，当∠A为锐角时，∠A=∠D 由图（2）知，当∠A为钝角时，∠A=180°-∠D  当∠A=90°时，如图（3）， ∴对于任意三角形都有 同理可证： 从而可得： 说明：本例中正弦定理的形式也可写为：a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC的形式，它在解决某些问题时可使解题过程简单化.如本课时中的例1可用下面解法： （1）由acosA=bcosB可得： 2RsinA·cosA=2RsinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A=π-2B ∴A=B或A+B= ∴△ABC为等腰或直角三角形. （2）由已知等式得： ∴tanA=tanB=tanC ∵A、B、C∈(0,π) ∴A=B=C ∴△ABC为等边三角形. 图5—17