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牛顿—莱布尼茨公式 小结 * * 微积分在几何上有两个基本问题 1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。 x y 0 x y 0 x y o 直线 几条线段连成的折线 曲线？ 知识回顾： 用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程： 分割 以直代曲 作和 逼近 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)以直代曲:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. (4)逼近:所求曲边梯形的面积S为 (3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值： xi-1 y=f(x) x y O b a xi xi (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度⊿x 定积分的定义: 一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和 如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: . 由定积分的定义可以计算 , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢? 问题情景 (分割---以直代曲----求和------逼近) 微积分基本定理 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 这段路程可表示为 问题思考 另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t), 对于一般函数 ，设 是否也有 若上式成立， 的原函数 来计算 在 上的定积分的方法。 我们就找到了用 ）的数值差 （即满足 定理 （微积分基本定理） 记: 则: f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数 解:(1)取 解:(2)取 找出f(x)的原函数是关健 例 计算下列定积分 解:(3)∵ 例 计算下列定积分 解（１）∵ 例 计算下列定积分 例 ．计算下列定积分 解 （1）∵ 思考: 0 1 解 思考: 0 0 例:计算 其中 解 1 2 f(x)=2x Y=5 练习： 29/6 1 9 e2-e+1 练习： 微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．